Неправильная плоская окраска с размером монохроматического компонента

Давайте немного ослабим раскраску, то есть позволим небольшому количеству смежных вершин присваивать один и тот же цвет. Монохроматический компонент определяется как связанный компонент в подграфе, индуцированный набором вершин, которые получают один и тот же цвет, и вопрос заключается в том, чтобы задать минимальное количество цветов необходимое для раскраски графа, чтобы наибольший монохроматический компонент имел размер не более чем C . $\lambda$$C$
В этом случае традиционную раскраску можно рассматривать как -окрашивание. Следовательно, найти минимальное число λ NP-трудно для плоского графа вообще. $[\lambda,1]$$\lambda$

Мой вопрос: как насчет -окрашивания планарных графов$[\lambda,2]$ или, в более общем смысле, -окрашивания для C ≥ 2 ?$[\lambda,C]$$C \geq 2$

Это можно рассматривать как двойственную задачу о том , что изучается Эдвардс и Фарра , где фиксируется, и один просят найти минимальный размер C .$\lambda$$C$

2-раскрашенное идеальное сопоставление в кубических планарных графах очень похоже на вашу задачу, которая была сформулирована как NP-полная Шефером в его знаменитой работе с теоремой о дихотомии, хотя он не дал доказательства для кубических плоских графов. Задача требует существования двух раскрасок кубических плоских графов так, что каждая вершина имеет ровно одного соседа того же цвета, что и она сама.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Неисправная окраска является версией решения вашей проблемы. Граф является (k, d) -цветным, если можно закрасить вершины k цветами так, чтобы ни одна вершина не была смежной с более чем d вершинами такого же цвета. Было показано, что решение задачи (2,1) - окрашивание с дефектами, что эквивалентно вашей задаче оптимизации, является NP-полным даже для плоских графов.