Есть ли естественная проблема на натуральных объектах, которая является NP-полной?

Любое натуральное число может рассматриваться как битовая последовательность, поэтому ввод натурального числа аналогичен вводу последовательности 0-1, поэтому проблемы с NP-заполнением с натуральными входами, очевидно, существуют. Но есть ли естественные проблемы, то есть те, которые не используют некоторую кодировку и специальную интерпретацию цифр? Например, "На прайм?" Это такая естественная проблема, но эта проблема в P. Или "Кто победит в игре Nim с кучами размера 3, 5, n, n?" это еще одна проблема, которую я считаю естественной, но мы также знаем, что это связано с P. Меня также интересуют другие классы сложности, а не NP.

Обновление: Как указал Эмиль Йержабек, учитывая $a,b,c\in \mathbb N,$ чтобы определить, имеет ли $ax^2+by-c=0$ решение над натуральными, NP-полно. Это именно то, что я имел в виду, как естественный, за исключением того, что здесь ввод три числа вместо одного.

Обновление 2: И после более чем четырехлетнего ожидания Дэн Брамлев дал «лучшее» решение - обратите внимание, что оно все еще не завершено из-за рандомизированного сокращения.

Эта проблема имеет вариацию с одним целочисленным вводом:

Имеет ли делитель строго между двумя самыми большими простыми факторами?$n$

Идея состоит в том, чтобы использовать то же рандомизированное уменьшение от суммы подмножества, описанное в верхнем ответе на связанный вопрос, но с целевым диапазоном, закодированным как самые большие два простых числа, а не дано отдельно. Определение имеет естественный вид, хотя это просто скрытая функция сопряжения.

Вот еще один вариант той же проблемы, с аналогичным сокращением проблемы разделения:

Является ли произведением двух целых чисел, которые отличаются менее чем на ?$n$$n^{\frac{1}{4}}$

В обоих сокращениях мы «маскируем» набор целых чисел, находя ближайшие простые числа и беря их произведение. Если это возможно сделать за полиномиальное время, тогда эти проблемы являются NP-полными.

Я думаю, что интересно смотреть на эти примеры вместе с теоремой Махани : если и мы можем найти ближайшие простые числа, то эти множества не редки. Приятно получить чисто арифметическое утверждение из теории сложности (хотя это только предположительно и, вероятно, легко доказывается другим способом).$P \ne NP$

Основываясь на обсуждении, я опубликую это как ответ.

Как доказали Мандерс и Адлеман , следующая задача является NP-полной: по заданным натуральным числам определите, существует ли натуральное число такое, что .x ≤ c x 2 ≡ $a,b,c$$x\le c$$x^2\equiv a\pmod b$

Проблема может быть эквивалентно сформулирована следующим образом : с учетом , определить , является ли квадратичная имеет решение .x 2 + b y - c = 0 x , y ∈ $b,c\in\mathbb N$$x^2+by-c=0$$x,y\in\mathbb N$

(В оригинальной статье говорится о проблеме с , но нетрудно понять, что ее можно свести к случаю )a = $ax^2+by-c$$a=1$

Вот проблема с одним натуральным числом в качестве входных данных.$\text{NEXP}$

Проблема состоит в том, чтобы наложить сетку с фиксированным набором плиток и ограничениями на соседние плитки и плитки на границе. Все это является частью спецификации проблемы; это не часть ввода. На входе только число . Проблема в том, что для некоторого выбора правил как показано вn $n \times n$$n$$\text{NEXP}$

Д. Готтесман, С. Ирани. Квантовая и классическая сложность трансляционно-инвариантных задач Тайлинга и Гамильтона. Учеб. 50-й ежегодный симп. по основам информатики, 95-104 (2009), DOI: 10.1109 / FOCS.2009.22 . Также arXiv: 0905.2419 .

Проблема определена на стр. 5 версии arxiv.

Кроме того, они также определяют аналогичную проблему, которая является -complete, которая является квантовым аналогом с ограниченной ошибкой . (Классическим ограниченным аналогом ошибки является .) NEXP NEXP MA $\text{QMA}_\text{EXP}$$\text{NEXP}$$\text{NEXP}$$\text{MA}_\text{EXP}$

Я думаю, что используя один из ограниченных во времени вариантов сложности Колмогорова, вы можете построить задачу, которая использует только двоичное представление числа и (я думаю) вряд ли будет в ; неофициально это разрешимый вариант проблемы « сжимаем?»:$\mathsf{P}$$n$

Задача: При заданном существует ли машина Тьюринга такая, что и на пустой ленте выводит менее чем за шага, где - длина двоичного представленияM | М | < l M n l 2 l = ⌈ log n ⌉ $n$$M$$|M| < l$$M$$n$$l^2$$l = \lceil \log{n} \rceil$$n$

Это явно в , потому что, учитывая и , просто смоделируйте для шагов и, если он остановится, сравните результат с . н М М л 2$\mathsf{NP}$$n$$M$$M$$l^2$$n$

Наша статья FOCS'17 по короткой арифметике Presburger является примером «естественной» проблемы, которая является NP-c, и использует постоянное число целых чисел во входных данных, скажем, . Он отличается от Мандерса-Адлемана тем, что все ограничения являются неравенствами. Посмотрите сообщение в блоге Гила Калаи для некоторого фона. $C$$C< 220$

Как насчет проблемы PARTITION ?