Результаты, показывающие существование / несуществование конечных графов с определенными вычислимыми свойствами, подразумевают определенные результаты сложности

Существуют ли какие-либо известные результаты, показывающие, что существование (или несуществование) конечных графов с конкретными вычислимыми свойствами подразумевает определенные результаты сложности (такие как P = NP)?

Вот один полностью гипотетический результат: если существует конечный граф с дистингушевыми ребрами A, B, C и D, такой, что все максимальные соответствия либо содержат все A, B, C и D, либо не содержат ни одного из A, B, C и D тогда P = NP.

Один из результатов такого рода был доказан Липтоном «Доказательство того, что граф не имеет большой клики: связь с теорией Рамси» . Он связывает гипотезы нижней границы с чисто теоретическими результатами графов, показывая, что если$NP$ не содержится в $coNTIME(n^{O(\log n)})/(\log \log n)$то неприемлемость $MAX-CLIQUE$подразумевает, что существуют графы с аккуратными теоретико-рамси-свойствами. (Определения см. В статье.) Я понятия не имею, был ли достигнут какой-либо прогресс в доказательстве того, существуют ли такие графики на самом деле.

Извините, я наткнулся на этот годичный вопрос только сейчас ...

Фактически, есть много результатов, показывающих, что явные графы с некоторыми свойствами подразумевают строгие нижние оценки для булевых функций. Скажем, графики с высоким аффинным или проективным измерением подразумевают сильные нижние оценки для формул и программ ветвления. Существуют также «более простые» меры графов, хорошие нижние границы которых будут иметь большие последствия в вычислительной сложности. Позвольте мне набросать некоторые из них.

Просмотр графиков в виде наборов ребер. Позволять$s(G)$ быть наименьшим числом $s$ такой, что $G$ может быть написано как пересечение $\leq s$ графики, каждый из которых представляет собой объединение $\leq s$биклики (двудольные полные графы). Простой подсчет показывает, что$s(G)\geq n^{1/2}$ для почти всех двудольных $n\times n$графики. Но по результатам Валианта, каждый явный двудольный граф$G$ (точнее, последовательность графиков) с $s(G)\geq n^c$ для постоянного $c>0$разрешил бы старую проблему: дал бы логическую функцию, которая не может быть вычислена схемой логарифмической глубины линейного размера. Предполагается, что плотные графы без$K_{2,2}$ иметь большой $s(G)$,

Еще лучше давай $Star(G)$ быть наименьшим числом поклонников$2$ операции объединения и пересечения, достаточные для генерации $G$ начиная с полных звезд (графики типа $K_{1,n}$ или $K_{n,1}$). Подсчет показывает, что большинство графиков имеют$Star(G)=\Omega(n^2/\log n)$, Но любой$G$ с $Star(G)\geq (4+c)n$ для постоянного $c>0$дал бы явную логическую функцию, требующую схем экспоненциального размера! Если график имеет размерность$m\times n$ с $m=o(n)$тогда даже нижняя граница $Star(G)\geq (2+c)n$будет иметь такие же последствия. Лучшее, что мы можем пока показать, это$Star(G)\geq 2n-1$,

Позволять $Sym(G)$ быть наименьшим числом $t$ для которого существует подмножество $T\subseteq\{0,1,\ldots,t\}$ и последовательность $t$ биклики такие, что $(u,v)\in G$ если количество бикликов, содержащих $(u,v)$ принадлежит $T$, Опять же, подсчет дает$Sym(G)\geq n/2$для большинства графиков. Но по результатам Яо, Бейгеля и Таруи любой явный граф с$Sym(G)$ больше, чем $2^{poly(\ln\ln n)}$ даст нам логическую функцию снаружи $ACC$, Предупреждение: быть «комбинаторно сложным» само по себе не означает большого$Sym(G)$: существуют сильно графы Рамсея, для которых $Sym(G)=O(\log n)$, даже если $T$ = множество нечетных целых чисел.

Подробнее о том, как все это происходит, можно узнать здесь .

Классическим примером был Valiant (я не знаю ссылки, но я думаю, что это описано в книге Hoory, Linial и Wigderson о графах расширителей ). Valiant показал явную нижнюю границу (я думаю, что определенная явная функция$f:{0,1}^n\rightarrow {0,1}^n$ не имеет цепи $O(n)$ размер и $O(\log n)$глубина - то, что мы все еще далеки от доказательства), исходя из предположения, что некоторые типы графов, называемые суперконцентраторами, не существуют. (Это был асимптотический вопрос, а не только об одном графике.) Однако позже он показал, что они существуют (и фактически имеют другое использование)

Ответ, безусловно, «да», если мы говорим о семействах графов, а не о конкретных графах. Например, есть предположение Михаила и Вазирани о том, что все многогранные 0/1 графы являются либо хорошими, либо очень хорошими расширителями ребер (то есть, что их разложение ребер ограничено снизу 1 / полиномом (градусом) или 1).

Если это так, то существуют эффективные рандомизированные алгоритмы аппроксимации по методу Монте-Карло с цепью Маркова для ряда открытых комбинаторных и счетных задач с помощью стратегии выборки Алона, Джеррума и Синклера.

Аналогичным образом, если существуют семейства многогранных графов, диаметр которых растет быстрее, чем любой многочлен по числу граней и степени графа, линейное программирование не может быть решено за строго полиномиальное время с помощью алгоритмов следования ребер.

Расширяя комментарий Ананда Кулькарни:

Предположим, что существует детерминированная машина Тьюринга M, которая распознает SAT за полиномиальное время. Тогда конечное отношение перехода M будет функцией. Мы знаем о ТМ, которые распознают SAT за полиномиальное время, но их переходные отношения не являются функциями. Обратите внимание, что отношение перехода - это двунаправленный ориентированный граф с кортежами (состоянием, символом ленты) в одном двунаправленном виде, кортежами (состоянием, символом ленты, перемещением) в другом двунаправленном разделе и дугами от пар к тройкам.

Таким образом, тривиально, если есть такой орграф, который является функцией, то P = NP.

Конечно, это не очень естественное определение, так как требует, чтобы вспомогательный механизм придал смысл требованию, чтобы каждый путь в пространстве состояний, который достигает принимающего состояния, имел длину, ограниченную полиномом от входного размера. Совершенно не очевидно, как выглядит множество конечных графов, представляющих ограниченные временем машины Тьюринга, или имеют ли эти графы интересные теоретико-графические свойства.