Приближаемость проблемы рода

Что в настоящее время известно о приближаемости проблемы рода? Предварительный поиск говорит мне , что постоянное приближение фактора тривиально для достаточно плотных графов, и -приближение алгоритм было исключено. Является ли эта информация актуальной или известны более точные границы?$n^\epsilon$

Лучшие опубликованные результаты представлены в статье 1997 года Джианера Чена, Сароджи П. Канчи и Аркадия Каневского.

• Для любого фиксированного вычисление рода графа с аддитивной ошибкой O ( n ε ) является NP-трудным.$\varepsilon>0$$O(n^\varepsilon)$

• $n$$g$$\max\{4g, g+4n\}$

• $O(\sqrt{n})$

Остается открытым вопрос, существует ли эффективный алгоритм аппроксимации с постоянным множителем.

Я хотел бы добавить к исчерпывающему ответу JɛE, что, насколько мне известно, нет нижних границ для коэффициента аппроксимации для этой задачи. Насколько нам известно, может существовать алгоритм аппроксимации, который всегда дает приближение с постоянным множителем (даже если род очень мал).

$O(n^{1-\varepsilon})$$G$$\mathrm{genus}(G) \leq g^*$$\mathrm{genus}(G) \geq g^*+1$$g^*$$n$$G$$k$$N = n^k$$G$$G'$$\mathrm{genus}(G') \leq N g^*$$\mathrm{genus}(G') \geq N(g^*+1)$$\mathrm{genus}(G')$$N = (Nn)^{k/{k+1}} = |V(G')|^{k/{k+1}} = |V(G')|^{1-\varepsilon}$$\varepsilon = 1/(k+1)$$N(g^*+1)$$Ng^*$$g^*+1$$g^*$