Параметр графика, возможно, связанный с шириной дерева

Меня интересуют графики по вершинам, которые можно получить с помощью следующего процесса.$n$

1. Начнем с произвольного графа на вершинах. Пометьте все вершины в как неиспользуемые .$G$$k\le n$$G$
2. Производят новый граф , добавив новую вершину , который соединен с одним или более неиспользованных вершин в , и не соединен ни с какими б вершин в . Отметьте как неиспользуемый . v G G $G'$$v$$G$$G$$v$
3. Пометьте одну из вершин в с которой связано, как используется .$G'$$v$
4. Установите в и повторяйте с шага 2, пока содержит вершин.G ′ G $G$$G'$$G$$n$

Назовите такие графы «графами сложности » (извините за расплывчатую терминологию). Например, если - граф сложности 1, - путь.G $k$$G$$G$

Я хотел бы знать, изучался ли этот процесс раньше. В частности, для произвольного , это NP-полной , чтобы определить , имеет ли граф сложности ?к$k$$k$

Эта проблема несколько напоминает вопрос о том, является ли частичным деревом , т. Е. Имеет длину дерева . Известно, что определение того, имеет ли ширину дерева является NP-полным. Однако некоторые графики (например, звезды) могут иметь гораздо меньшую ширину дерева, чем мера сложности, обсуждаемая здесь.k k G $G$$k$ $k$$G$$k$

4 октября 2012 года: вопрос был отправлен в MathOverflow после того, как не было окончательного ответа через неделю (хотя спасибо за информацию о причинных потоках).

Хотя мы уже говорили об этом лично, я добавлю это в надежде, что это позволит кому-то еще дать полный ответ.

В процессе добавления вершин определите частичную функцию из каждой вершины v, которая используется, в вершину, которая была добавлена, когда использовался. Тогда оказывается, что - (причинная) функция потока (стр. 39), которая является ограниченной версией покрытия пути. Действительно, ваше описание этих графов «сложности k » (с учетом набора вершин, которые должны быть изначально неиспользуемыми вершинами и конечными неиспользуемыми вершинами) - это как раз звездное разложение «геометрии» с причинным потоком (с. 46 вышеуказанной статьи).$f:V(G) \rightharpoonup V(G)$$v$$v$$f$

Хотя эти «причинные потоки» были изучены главным образом в контексте (на основе измерений) квантовых вычислений - где они мотивированы определенными структурами унитарных цепей - существуют графо-теоретические результаты о них, которые полностью отделены от квантовых вычислений:

Уникальность по модулю конечных точек : графы со «сложностью » - это в точности те, для которых существуют (возможно, пересекающиеся) множества, оба размера, так чтоимеет ровно одно покрытие пути размеракоторого пути начинаются ви заканчиваются в.S , T ⊆ V ( G ) k G k S $k$$S,T \subseteq V(G)$$k$$G$$k$$S$$T$

Экстремальные графы . Граф навершинах, имеющий "сложность", имеет не болееребер.k k n - ( k + $n$$k$$kn - \binom{k+1}{2}$

Используя эти результаты и учитывая пару подходящих наборов , можно определить, могут ли они «подытожить» уникальное покрытие пути таким образом за время ; но обнаружение того, существуют ли такие наборы конечных точек, что является очевидной трудностью, и приведенный выше экстремальный результат (который является только необходимым условием), по-видимому, представляет уровень техники в эффективных критериях для определения, существуют ли такие наборы.O ( k 2 n $S,T$$O(k^2 n)$

Все графы сложности имеют ширину пути не более . На каждом шаге набор неиспользуемых узлов является разделителем, отделяющим используемые узлы от уже созданных. Таким образом, на каждом шаге, когда вы добавляете вершину, вы можете создать пакет, содержащий эту вершину плюс все неиспользуемые вершины, и соединить пакет в конце разложения пути. Это будет правильная декомпозиция пути.$k$$k$

Из-за того, «какой связан» в точках 3 и 2, ширина пути может быть намного меньше, чем . Я не уверен, решу ли сложность , но, как говорит Ниль, должно быть покрытие пути размера k, а не только покрытие пути, пути должны быть индуцированы. И между путями мы можем иметь этот зигзагообразный паттерн. Мы можем за время вычислить оптимальную декомпозицию пути, затем мы можем использовать эту декомпозицию для динамического программирования, отслеживая различные сегменты этих$v$$k$$G$$k$$f(k) \cdot poly(n)$$k$пути, к которым они принадлежат, и порядок сегментов, принадлежащих одному и тому же пути. И для каждой пары сегментов, принадлежащих разным путям, нам нужно знать только первый и последний путь зигзага.

Поэтому я думаю, что мы можем решить, имеет ли граф сложность за время .$k$$f(k) \cdot poly(n)$