Приложения теории представлений симметрической группы

Вдохновленный этим вопросом и, в частности, последним абзацем ответа Ор, у меня есть следующий вопрос:

Знаете ли вы какие-либо приложения теории представлений симметрической группы в TCS?

Симметрическая группа $S_n$ является группой всех перестановок $\{1, \ldots, n\}$ с композицией групповых операций. Представление $S_n$ является гомоморфизмом из $S_n$ в общую линейную группу обратимых $n \times n$ комплексных матриц. Представление действует на $\mathbb{C}^n$ путем умножения матриц. Неприводимое представление $S_n$ - это действие, не оставляющее собственного подпространства в $\mathbb{C}^n$ инвариантным. Неприводимые представления конечных групп позволяют определитьПреобразование Фурье над неабелевыми группами . Это преобразование Фурье имеет некоторые хорошие свойства дискретного преобразования Фурье над циклическими / абелевыми группами. Например, свертка становится точечным умножением в базисе Фурье.

Теория представлений симметрической группы прекрасно комбинаторна. Каждое неприводимое представление $S_n$ соответствует целочисленному разбиению $n$ . Нашли ли эта структура и / или преобразование Фурье над симметрической группой какое-либо применение в TCS?

Вот несколько других примеров.

1. Diaconis и Shahshahani (1981) изучили, сколько случайных транспозиций требуется для генерации почти равномерной перестановки. Они доказали резкий порог 1/2 n log (n) +/- O (n). Генерация случайной перестановки со случайными транспозициями .

2. Кассабов (2005) доказал, что на симметрической группе можно построить ограниченный степенной экспандер. Симметричные группы и графы расширителей .

3. Куперберг, Ловетт и Пелед (2012) доказали, что существуют небольшие наборы перестановок, которые действуют равномерно на k-кортежи. Вероятностное существование жестких комбинаторных структур .

$S_n$$H_0(S_n)$$(\min,+)$

А. Тискин. Полулокальное сравнение строк: алгоритмические методы и приложения. http://arxiv.org/abs/0707.3619

Вот один пример, который я знаю:

«О гипотезе« лог-ранга »в сложности коммуникации» , Р.Раз, Б.Шпикер,

Proceeding of the 34th FOCS, 1993, pp. 168-177
Combinatorica 15(4) (1995) pp. 567-588 

Я считаю, что там гораздо больше.

Вот пример из квантовых вычислений:

Роланд, Джереми; Ротетлер, Мартин; Магнин, Лойк; Амбайнис, Андрис (2011), «Противники с симметричной симуляцией для генерации квантовых состояний», Материалы 26-й ежегодной конференции IEEE 2011 года по вычислительной сложности, CCC '11, IEEE Computer Society, стр. 167–177, doi: 10.1109 / CCC. 2011,24

Они показывают, что сложность квантового запроса некоторой проблемы, называемой стиранием индекса, равна использующей теорию представлений симметрической группы для построения оптимальной матрицы противника для включения в метод квантового противника.$\Omega(\sqrt{n})$

1. Кнут 3-й том «Искусства компьютерного программирования» посвящен поиску и сортировке и уделяет много внимания комбинаторике и перестановкам, а также соответствию Робинсона-Шенстеда-Кнута , которое является центральным в теории представлений симметрической группы.

2. Есть несколько работ Эллис-Фридгут-Пилпель и Эллис-Фридгут-Фильмус, которые решают экстремальные комбинаторные задачи с использованием гармонического анализа на . Не совсем TCS, но довольно близко.$S_n$

3. В начале 90-х годов Айтай получил замечательные результаты по модульному представлению которые были мотивированы вопросами сложности вычислений. Я не помню деталей или того, была ли она опубликована, но это стоит изучить!$S_n$

Симметрическая группа не поддается строгой выборке Фурье по Мур, Рассел, Шульман

«мы показываем, что скрытая проблема подгруппы над симметричной группой не может быть эффективно решена с помощью сильной выборки Фурье ... Эти результаты применимы к частному случаю, связанному с проблемой изоморфизма графов».

со связью с решением проблемы изоморфизма графов с помощью подходов QM

с 5 Теория представлений симметрической группы

Больше статистики, чем информатики, но все же интересно: в главе 8 монографии Диакониса о групповых представлениях в области вероятности и статистики разрабатываются методы спектрального анализа данных, связанных с группойЭто расширяет классический спектральный анализ данных, скажем, временных рядов, где натуральное - это действительные числа или целые числа, которые складываются. Имеет смысл принять за когда данные заданы ранжированием. Монография посвящена интерпретации коэффициентов Фурье ранжирования данных. В этом случае набор данных представлен разреженным$G$$G$$G$$S_n$$f:S_n \rightarrow \mathbb{R}^+$ который отображает ранжирование (заданное перестановкой) в той части населения, которая предпочитает ранжирование.

Также в той же главе анализ Фурье по симметричным и другим группам используется для получения моделей и тестов ANOVA.

Естественным продолжением этой теории была бы статистическая теория обучения для ранжирования задач, которая извлекает выгоду из теоретических методов представления таким же образом, как теория обучения для бинарной классификации при равномерном распределении выиграла от анализа Фурье на булевом кубе.

Теория представлений симметрической группы играет ключевую роль в подходе теории геометрической сложности к нижним оценкам определителя или умножения матриц.

• Бюргиссер и Икенмейер доказывают нижнюю границу ранга умножения матриц, используя теорию представлений .$S_n$

• Относительно того, как теория представления связана с нижними оценками определителя, см. Теория геометрической сложности II: На пути к явным препятствиям для вложений между многообразиями классов и Теория геометрической сложности VI: The ip через позитивность$S_n$

• Кандидатская диссертация Хуанса, ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОБОСНОВАНИЕ И ОБУЧЕНИЕ НА ПЕРМУМУЛЯЦИЯХ: использование структурных разложений симметрической группы . приложение представляет собой «настоящий сценарий отслеживания нескольких людей на основе камеры».

• Теоретико-вероятностный вывод Фурье над перестановками Хуанга, Гострина, Гибаса; Журнал исследований машинного обучения 10 (2009) 997-1070. см., например, раздел 5. Теория представлений в симметрической группе

• еще одна мультитрековая заявка. Отслеживание нескольких объектов с представлениями симметрической группы (2007) Кондора, Говарда, Джебары

• Распределение вероятностей обучения по перестановкам с помощью коэффициентов Фурье, Irurozki, Calvo, Lozano (Dept CS / AI). см. раздел 2 Преобразование Фурье на симметрической группе

Применение теории представлений симметрических групп для вычисления хроматических полиномов графов Клина и Печа

эта высоко цитируемая статья Билса, 1997, STOC, кажется, доказывает, что квантовые вычисления преобразований Фурье по симметричным группам находятся в BQP, т.е. квантовом полиномиальном времени

более старый пример, но все еще с недавними / текущими исследованиями, некоторые из этой теории обнаруживаются в математике «совершенного шаффла» , рассматриваемого как элемент симметричной группы и который был известным открытием в то время. В [1] упоминается применение идеального алгоритма тасования к параллельной обработке, а также соединение с Cooley-Tukey O (n log n) DFT. [2] более свежая. идеальное перемешивание проявляется при параллельной обработке [3], проектировании памяти и сортировке сетей.

[1] Математика совершенного шаффла. Автор Диаконис, Грэм, Кантор. 1983

[2] Циклы многоходовой совершенной в случайном порядке перестановки Эллиса, Вентилятор, Shallit (2002)

[3] Параллельная обработка с идеальным перемешиванием Стоуна, 1971

[4] Омега сеть на основе идеального перетасовки

[5] Параллельная и последовательная перестановка на месте и совершенная перетасовка с использованием инволюций Yang et al (2012)