похожие матрицы

Для двух матриц A и B задача принятия решения о том, существует ли матрица перестановок P такая, что B = P - 1 A P , эквивалентна (граф изоморфизма). Но если мы расслабим P как просто обратимую матрицу, то в чем сложность? Существуют ли какие-либо другие ограничения на обратимую матрицу P , помимо перестановки, которые связывают эту проблему с другими сложными проблемами?$n \times n$$A$$B$$P$$B = P^{-1}AP$GI$P$$P$GI

Матрицы A и B , элементы которых находятся в поле F , похожи (в F ) тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую нормальную форму Фробениуса . Согласно быстрому поиску, кажется, что нормальная форма Фробениуса матрицы n × n может быть вычислена с помощью полевых операций O ( n ³ ) [Sto98], и что это можно улучшить до уровня, сравнимого со сложностью умножения матриц [ Sto01].

[Sto98] Арне Сторджоханн. Алгоритм O ( n ³ ) для нормальной формы Фробениуса. В материалах Международного симпозиума по символическим и алгебраическим вычислениям (ISSAC) 1998 года , стр. 101–105, август 1998 года. DOI: 10.1145 / 281508.281570 .

[Sto01] Арне Сторджоханн. Детерминированные вычисления формы Фробениуса. В 42-м Симпозиуме IEEE по основам информатики (FOCS) , с. 368–377, октябрь 2001 г. DOI: 10.1109 / SFCS.2001.959911 .

Есть действительно другие ограничения на которые связывают эту проблему с GI. Например, если требуется, чтобы P было произведением Кронекера (тензора) P 1 ⊗ P 2 ⊗ P 3 , то возникающая в результате проблема столь же сложна, как эквивалентность трехвалентных тензоров, что примерно такой же сложности, как и эквивалентность линейного кода, который, в свою очередь, известен как GI-жесткий (но не известен как эквивалент GI).$P$$P$$P_1 \otimes P_2 \otimes P_3$

$G_n$$X_n$$n$$x,y \in X_n$$G_n$$G_n$$V_n$$G_n$$X_n = V_n \otimes (V_n)^*$

$G_n = S_n$$V_n = \mathbb{R}^n$$G_n = \text{GL}_n(\mathbb{F})$$V_n = \mathbb{F}^n$$G_n = \text{GL}_a \times \text{GL}_b \times \text{GL}_c$$V_n = \mathbb{F}^{a} \otimes \mathbb{F}^b \otimes \mathbb{F}^c$