Нечетная проблема ДЕЛЬТА

Позволять $G = ( V, E )$ быть графом Позволять $k \leq |V|$ быть целым числом Позволять $O_k$ быть количеством краевых индуцированных подграфов $G$ имеющий $k$ вершины и нечетное количество ребер. Позволять $E_k$ быть количеством краевых индуцированных подграфов $G$ имеющий $k$ вершины и четное число ребер. Позволять $\Delta_k = O_k - E_k$ , Проблема ODD EVEN DELTA состоит в вычислениях $\Delta_k$ , данный $G$ а также $k$ ,

Вопросов

Можно ли вычислить $\Delta_k$ в полиномиальное время? Какой самый известный алгоритм для его вычисления?

Что, если $G$ 3-х регулярный?

Что, если $G$ такое 3-х регулярный двудольный?

Что, если $G$ такое 3-регулярный двудольный планар?

— Джорджио Камерани
источник

Какова ваша мотивация?

— Тайсон Уильямс

@TysonWilliams: Моя мотивация заключается в том, что если на 1-ю часть 1-го вопроса будет положительный ответ (даже только для двудольного 3-регулярного плоского случая), то будут некоторые интересные последствия, заслуживающие дальнейшего изучения. Если алгоритм является субэкспоненциальным, он все равно будет иметь некоторые последствия (менее интересные, но, тем не менее, заслуживающие большего изучения).

— Джорджио Камерани

Можете быть более конкретными? Что вы подразумеваете под "некоторыми интересными последствиями"? Как вы столкнулись с этой проблемой в первую очередь?

— Тайсон Уильямс

@TysonWilliams: Можем ли мы продолжить этот разговор в частном порядке, по электронной почте?

— Джорджио Камерани

Задача ODD EVEN DELTA является # P-сложной, даже на 3-регулярных двудольных плоских графах.

Позволять $\mathcal{C}$ быть набором вершинных покрытий общего графа $G$ , Тогда, предполагая $G$ не имеет изолированных вершин, имеет место следующее уравнение (см. приведенную выше статью для доказательства):

| C | = 2^{| V |} - \sum_{k = 2}^{| V |} Δ_{k} \cdot 2^{| V | - k}

$|\mathcal{C}| = 2^{|V|} - \sum_{k = 2}^{|V|} \Delta_k \cdot 2^{|V|-k}$

Подсчет вершинных покрытий является # P-полным даже на 3-регулярных двудольных плоских графах, и это можно сделать с помощью линейного числа обращений к оракулу ODD EVEN DELTA.

— Джорджио Камерани
источник

ОБНОВИТЬ:

Я должен был указать, что ответ ниже о частном случае $k = |V|$ , Поскольку этот случай сложный, проблема для общего $k$ тоже сложно.

Каркас Холанта по существу является экспоненциальной суммой по охватывающим подграфам (т. Е. Все вершины присутствуют в подграфе, поэтому сумма находится по подмножествам ребер). Напротив, текущая версия вопроса о краях подграфов.

Более ранняя версия этого вопроса касалась подсчета определенных подграфов без изолированных вершин. Ответ ниже правильно соответствует этому требованию. При рассмотрении как охватывающих подграфов (т. Е. Каркаса Холанта), так и отсутствия изолированных вершин, это аналогично рассмотрению краевых индуцированных подграфов с $|V|$ Вершины. ФП в основном указал на это в этом вопросе .

3-регулярные плоские графы

На данный момент я проигнорирую ваше требование, чтобы график $G$ является двухсторонним

Предположим, что $G$ 3-регулярный плоский граф Ваша проблема может быть выражена как двухсторонняя плоская проблема Холанта

Pl-Holant ([1, 0, - 1] | [0, 1, 1, 1]),

$\text{Pl-Holant}([1,0,-1]|[0,1,1,1]).$

Позвольте мне объяснить, как. Более подробно, чем я приведу ниже, см. В этом документе .

Holant - это сумма по (логическим) присваиваниям ребрам. На вершинах есть ограничения, входными данными которых являются присвоения их падающим ребрам. Для каждого присваивания рёбрам мы берем произведение всех вершинных ограничений.

Ваше требование об отсутствии изолированных вершин - это ограничение, которое не выполняется в конкретной вершине, если не выбрано ни одно из ее падающих ребер, и удовлетворяется, если выбрано хотя бы одно ребро. Это симметричное ограничение обозначается как [0,1,1,1], которое выводит 0 (то есть неудовлетворенный), когда число входов 1 равно 0 (т.е. нет падающих ребер в подграфе), и выводит 1 (то есть удовлетворяется), когда число входные значения 1 - 1, 2 или 3 (т. е. 1, 2 или 3 падающих ребра в подграфе).

Другое ваше требование - вычислить количество подграфов с четным числом ребер минус подграфы с нечетным числом ребер. Для нашего графика $G$ , мы заменим каждое ребро на путь длины 2 (который также называется 2-отрезок $G$ ). Это дает (2,3) -регулярный двудольный граф. Для всех исходных вершин мы назначаем ограничение [0,1,1,1] сверху. Для всех новых вершин мы назначаем ограничение [1,0, -1]. Поскольку средняя запись этого ограничения равна 0, это заставляет падающие ребра этих вершин степени 2 либо обоим назначаться 0 (т.е. не в подграфе), либо обоим присваиваться 1 (то есть в подграфе). Теперь для конкретного назначения краям, если номер $n$ «исходных» ребер четный, то вклад всех вершин степени 2 $(-1)^n = 1$ , В противном случае, $n$ странно и вклад $(-1)^n = -1$ , Это именно то, что вы хотите.

Эта двудольная проблема Холанта является # P-трудной по теореме 6.1 в этой статье . Однако эта теорема не самая простая в применении. Вместо этого рассмотрим следующее.

Мы делаем голографическое преобразование $T = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},$ который не меняет стоимость Holant. Таким образом, вышеуказанная проблема точно такая же, как

\begin{aligned} Pl-Holant ([1, 0, - 1] | [0, 1, 1, 1]) & знак равно Pl-Holant ([1, 0, - 1] T^{\otimes 2} | (T^{- 1})^{\otimes 3} [0, 1, 1, 1]) \\ знак равно Pl-Holant ([1, - 1, 0] | [1, 0, 0, 1]), \end{aligned}

$\begin{align*} \text{Pl-Holant}([1,0,-1]|[0,1,1,1]) &= \text{Pl-Holant}([1,0,-1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes 3}[0,1,1,1])\\ &= \text{Pl-Holant}([1,-1,0]|[1,0,0,1]). \end{align*}$

Тогда легко видеть, что эта проблема является # P-трудной по теореме 1.1 в этой статье .

Ограничение на двудольные графы

Как и ваш предыдущий вопрос , с той же проблемой, связанной с двудольными графами, справиться гораздо сложнее, и я считаю, что это все еще открытая проблема. У нас есть гипотеза относительно поддающихся рассмотрению случаев (и я проверю, является ли ваша проблема одной из них), но я думаю, что ваша проблема все еще остается сложной, даже если она ограничена двудольными графами.

— Тайсон Уильямс
источник

Спасибо за то, что уделили время этому вопросу и предоставили такой подробный ответ. Будучи не знакомым с концепцией Holant, мне понадобится некоторое время, чтобы проанализировать ее и полностью усвоить ваши рассуждения (конечно, я не сомневаюсь в ее правильности, просто я хочу понять каждый шаг, а не только заключение) , Что касается ограничения двудольности, да, было бы очень хорошо, если бы вы могли проверить, охватывает ли ваша гипотеза о поддающихся лечению случаях мою проблему.

— Джорджио Камерани,