Сложность пространства для вычисления оптимального выравнивания строки для расстояния редактирования Левенштейна

Если нам даны две строки размером и , стандартное вычисление расстояния редактирования Левенштейна выполняется с помощью динамического алгоритма с временной сложностью и пространственной сложностью . (Некоторые улучшения могут быть сделаны в зависимости от расстояния редактирования , но мы не предполагаем, что особенно мало.) Если вас интересует только значение расстояния редактирования (т. Е. Минимальное количество правок), Хорошо известное улучшение обычного алгоритма (где вы сохраняете только предыдущую и текущую строку таблицы выравнивания) уменьшает сложность пространства до .n 2 O ( n 1 n 2 ) $n_1$$n_2$$O(n_1 n_2)$$O(n_1 n_2)$$d$$d$$O(\max(n_1, n_2))$

Однако, если вы хотите получить фактические правки оптимального сценария редактирования, возможно ли добиться большего успеха, чем использование памяти $O(n_1 n_2)$ , возможно, за счет времени выполнения?

Нет необходимости в компромиссе, который предлагает Ювал. Вся оптимальная последовательность редактирования может быть вычислена во времени и в пространстве , используя смесь динамического программирования и «разделяй и властвуй», впервые описанную Дэном Хиршбергом. ( Алгоритм линейного пространства для вычисления максимальных общих подпоследовательностей. Commun. ACM 18 (6): 341–343, 1975.)O ( n + m $O(nm)$$O(n+m)$

Интуитивно понятно, что идея Хиршберга состоит в том, чтобы вычислить одну операцию редактирования в середине оптимальной последовательности редактирования, а затем рекурсивно вычислить две половины последовательности. Если мы рассматриваем оптимальную последовательность редактирования как путь от одного угла таблицы памятки к другому, нам понадобится измененное повторение, чтобы записать, где этот путь пересекает среднюю строку таблицы. Одно повторение, которое работает, является следующим:

$$Half(i,j) = \begin{cases} \infty & \text{if $i<m/2$}\\ j & \text{if $i=m/2$}\\ Half(i-1,j) & \text{if $i>m/2$ and $Edit(i,j) = Edit(i-1,j)+1$}\\ Half(i,j-1) & \text{if $i>m/2$ and $Edit(i,j) = Edit(i,j-1)+1$}\\ Half(i-1,j-1) & \text{otherwise} \end{cases}$$

Значения могут быть вычислены одновременно с таблицей расстояний редактирования с использованием времени . Поскольку каждая строка таблицы памятки зависит только от строки над ней, для вычисления как и требуется только место.E d i t ( i , j ) O ( m n ) E d i t ( m , n $Half(i,j)$$Edit(i,j)$$O(mn)$$Edit(m,n)$O ( m + n $Half(m,n)$$O(m+n)$

Наконец, оптимальная последовательность редактирования, преобразующая входные строки в состоит из оптимальных последовательностей, преобразующих в последующей оптимальной последовательностью, преобразующей в . Если мы вычисляем эти две подпоследовательности рекурсивно, общее время выполнения подчиняется следующему повторению: Нетрудно доказать, что$A[1..m]$$B[1..n]$$A[1 .. m/2]$$B[1 .. Half(m, n)]$$A[m/2 + 1 .. m]$$B[Half(m, n) + 1 .. n]$

$$T(m,n) = \begin{cases} O(n) & \text{if $m\le 1$}\\ O(m) & \text{if $n\le 1$}\\ O(mn) + \max_h \left( T(m/2,h) + T (m/2, n−h)\right) & \text{otherwise} \end{cases}$$ O ( m + n $T(m,n) = O(mn)$, Точно так же, поскольку нам требуется только пространство для одного прохода динамического программирования за один раз, общая граница пространства по-прежнему равна . (Пространство для стека рекурсии незначительно.)$O(m+n)$

Алгоритм, который вы описываете, который работает в пространстве фактически восстанавливает окончательное редактирование и состояние непосредственно перед финальным редактированием. Таким образом, если вы запустите этот алгоритм раз, вы сможете восстановить всю последовательность редактирования за счет увеличения времени выполнения. В общем, существует компромисс между временем и пространством, который контролируется количеством строк, которые вы сохраняете в данный момент. Двумя крайними точками этого компромисса являются пространство и пространство , и между ними произведение времени и пространства является постоянным (вплоть до больших O).O ( n 1 + n 2 ) O ( n 1 n 2 ) O ( n 1 + n 2$O(n_1 + n_2)$$O(n_1 + n_2)$$O(n_1n_2)$$O(n_1+n_2)$