Сложна ли следующая проблема NP?

Рассмотрим набор множеств над базовым множеством где и , и пусть будет положительным целым числом.F = { F 1 , F 2 , … , F n } U = { e 1 , e 2 , … , e n } | F i | « П е я ∈ F я$F=\{F_1,F_2,\dotsc,F_n\}$$U=\{e_1,e_2,\dotsc,e_n\}$$|F_i|$ $\ll$ $n$$e_i \in F_i$$k$

Цель состоит в том, чтобы найти другой набор множеств над , чтобы каждый мог быть записан как объединение не более чем взаимно непересекающихся множеств. в а также мы хотимбыть минимальным (т. е. совокупное количество элементов во всех наборах должно быть как можно меньше).С = { С 1 , С 2 , ... , С т } U Р я K ( K < < | C |$C=\{C_1,C_2,\dotsc,C_m\}$$U$$F_i$$k$ $(k<<|C|)$ C ∑ m 1 | C j | $C$$\sum_1^m |C_j|$$C$

Обратите внимание, что имеет такой же размер с , но размер является неопределенным.F U $F$$U$$C$

Кто-нибудь может сказать, является ли вышеуказанная проблема NP-трудной? (установить покрытие？ упаковка？ идеальное покрытие)

Спасибо за ваше время.

Лемма. Проблема NP-сложная.

Эскиз доказательства. Мы игнорируем ограничения | F i | ≪ n = | U | в опубликованной задаче, поскольку для любого экземпляра задачи ( F , U , k ) экземпляр ( F ′ = F n , U ′ = U n , k ) получается путем объединения n независимых копий ( F , U , K ) (где $|F_i| \ll n = |U|$$(F,U,k)$$(F'=F^n,U'=U^n,k)$$n$$(F,U,k)$$i$й экземпляр F использует я й копии U в качестве базового набора) эквивалентен, и удовлетворяет ограничение (оно имеет | F ' я | & le ; п « п 2 = | U ' | ).$F$$i$$U$$|F'_i| \le n \ll n^2 = |U'|$

Мы даем скидку от 3-сат. Для наглядности на первом этапе редукции мы игнорируем ограничения e i ∈ F i в опубликованной задаче. На втором этапе мы опишем, как удовлетворить эти ограничения при сохранении правильности сокращения.$e_i \in F_i$

Начальная ступень. Зафиксируйте любую формулу 3-SAT ϕ . Предположим, что в WLOG каждое предложение содержит ровно три литерала (каждый использует свою переменную). Создайте следующий экземпляр ( F , U , k ) опубликованной проблемы с k = 3 .$\phi$$(F,U,k)$$k=3$

Пусть n будет числом переменных в ϕ . Есть 3 п + 1 элементов в U : один элемент т (для «истина»), и для каждой переменной х I в ф , три элемента х I , ¯ х я и е I (для «ложь»).$n$$\phi$$3n+1$$U$$t$$x_i$$\phi$$x_i$$\overline x_i$$f_i$

Для каждого элемента в U существует множество синглтона , содержащее только этот элемент в F . Любое решение С , следовательно , включает в себя каждый из этих наборов, которые способствуют их общий размер 3 п + 1 к стоимости C .$U$$F$$C$$3n+1$$C$

Кроме того, для каждой переменной х I в ф существует множество «переменная» { х я , ¯ х я , F I , т } в F . Для каждого предложения в ϕ существует множество «предложений» в F, состоящее из литералов в предложении и t . Так , например, положение х 1 ∧ ¯ х 2 ∧ х 3 дает множество { х 1 , ¯ х 2 , $x_i$$\phi$$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$F$$\phi$$F$$t$$x_1\wedge \overline x_2 \wedge x_3$3 , т } в F .$\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$$F$

Утверждение 1. Сокращение корректно: ϕ выполнимо тогда и только тогда, когда какое-либо решение C имеет стоимость ∑ j | C j | = 5 н + 1 .$\phi$$C$$\sum_j |C_j| = 5n+1$

(только если) Пусть ϕ выполнимо. Построим решение C, состоящее из 3 n + 1 одноэлементных множеств, плюс для каждой переменной x i пара, состоящая из истинного литерала и t . (Например, { ¯ х я , т } , если х я ложно.) Стоимость C затем 5 п + 1 . $\phi$$C$$3n+1$$x_i$$t$$\{\overline x_i, t\}$$x_i$$C$$5n+1$

Каждый набор переменной { х я , ¯ х я , F I , т } является объединением трех множеств: пара , состоящей из истинных буквальных и т , плюс два набора одноэлементных, по одному для каждого из двух других элементов. (Например, { ¯ х я , т } , { х я } , { е I } .)$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$t$$\{\overline x_i, t\}, \{x_i\}, \{f_i\}$

Каждый набор раздела (например , { х 1 , ¯ х 2 , х 3 , т } ) является объединением трех множеств: пара , состоящая из т и истинного буквальным, плюс два набора одноэлементных, по одному для каждого из двух других литералов. (Например, { х 1 , т } , { ¯ х 2 } , { х 3 } .)$\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$$t$$\{x_1, t\}, \{\overline x_2\}, \{x_3\}$

(если) Предположим, что существует решение C размером 5 n + 1 . Решение должно содержать 3 n + 1 одноэлементных набора, а также другие наборы с общим размером 2 n .$C$$5n+1$$3n+1$$2n$

Рассмотрим сначала п «переменной» наборов, каждый из вида { х я , ¯ х я , F I , т } . Множество является объединением непересекающихся не более трех множеств C . Без ограничения общности это несвязное объединение двух синглетонов и пары (в противном случае разбиение множеств в C достигает этого без увеличения стоимости). Обозначим пару P i . Пары P i и P j для разных переменных x i и x j различны, поскольку$n$$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$C$$C$$P_i$$P_i$$P_j$$x_i$$x_j$Р я содержу й я , ¯ х я , или е я , но Р J нет. Следовательно, сумма размеров этих пар равна 2 n . Таким образом, эти пары являются единственными не-одиночными множествами в решении. $P_i$$x_i$$\overline x_i$$f_i$$P_j$$2n$

Далее рассмотрим «положения» устанавливает, например, { х я , ¯ х J , х к , т } . Каждый такой набор должен быть объединением не более трех наборов в C , то есть до двух одноэлементных наборов и по меньшей мере одной пары P i , P j или P k . При обследовании пар и множества п, оно должно быть объединение двух одноэлементных и одной пары, и эта пара должна иметь вид { х я , т } или { ¯ х J , т $\{x_i, \overline x_j, x_k, t\}$$C$$P_i$$P_j$$P_k$$\{x_i, t\}$$\{\overline x_j, t\}$(буквальное и т ).$t$

Следовательно, следующее назначение удовлетворяет ф : правопреемником истинные каждой переменной х я такое , что Р я = { х я , т } , правопреемником ложь каждой переменной х я такое , что Р я = { ¯ х я , т } , и назначить остальные переменные произвольно.$\phi$$x_i$$P_i=\{x_i, t\}$$x_i$$P_i=\{\overline x_i, t\}$

Этап 2. Произведенный выше экземпляр ( F , U , k = 3 ) не удовлетворяет ограничению e i ∈ F i, указанному в описании задачи. Исправьте этот недостаток следующим образом. Упорядочите множества F i и элементы e i в U так, чтобы каждый одноэлементный набор соответствовал своему элементу e i . Пусть m - количество предложений в ϕ , поэтому | F | = 1 + 4 n $(F,U,k=3)$$e_i \in F_i$$F_i$$e_i$$U$$e_i$$m$$\phi$м и | U | = 1 + 3 н .$|F|=1+4n+m$$|U|=1+3n$

Пусть ( F ′ , U ′ , k ′ = 4 ) обозначает случай, полученный следующим образом. Пусть быть множество 2 п + 2 м новых элементов искусственных, два для каждого не одноточечного множества в F . Пусть U ' = U ∪ A . Пусть F ' содержит наборы одноэлементные из F , плюс, для каждого не одноточечного множества F я в F , два множества F я ∪ { $(F', U', k'=4)$$A$$2n+2m$$F$$U'=U\cup A$$F'$$F$$F_i$$F$i , a ' i } и { a i , a ' i } , где a i и a ' i являются двумя элементами в A, выбранными уникально для F i . Сейчас | F ′ | = | U ′ | = 1 + 5 n + 2 m и (при правильном упорядочении F ′ и U ′ ) ограничение$F_i\cup \{a_i, a_i'\}$$\{a_i,a_i'\}$$a_i$$a_i'$$A$$F_i$$|F'|=|U'|=1+5n+2m$$F'$$U'$′ I ∈F ′ i выполняется для каждого множестваF ′ i .$e'_i\in F'_i$$F'_i$

В заключение отметим, что ( F ′ , U ′ , k ′ = 4 ) имеет решение стоимости | A | + 5 n + 1, если исходный экземпляр ( F , U , k = 3 ) имеет решение стоимостью 5 n + 1 .$(F',U',k'=4)$$|A|+5n+1$$(F, U, k=3)$$5n+1$

(если) Учитывая любое решение C стоимостью 5 n + 1 для ( F , U , k = 3 ) , добавление n + m устанавливает { a i , a ′ i } (по одному для каждого не-одиночного F i , поэтому разбиение A ) на C дает решение ( F ′ , U ′ , k ′ = 4 ) стоимости$C$$5n+1$$(F,U,k=3)$$n+m$$\{a_i, a'_i\}$$F_i$$A$$C$$(F', U', k'=4)$| A | + c o s t ( C ) = | A | + 5 н + 1 .$|A|+cost(C)=|A|+5n+1$

(только если) Рассмотрим любое решение C ′ для ( F ′ , U ′ , k = 4 ) стоимости | A | + 5 н + 1 . Рассмотрим любую пару без одноэлементные множества F я ∪ { я , в " я } и { в I , ' я } в F ' . Каждый является несвязанным объединением не более 4 множеств в $C'$$(F', U',k=4)$$|A|+5n+1$$F_i\cup\{a_i, a_i'\}$$\{a_i, a_i'\}$$F'$′ . По аргументу local-exchange один из этих наборов является { a i , a ′ i }, а остальные не содержат a i или a ′ i - в противном случае это свойство может быть достигнуто путем локальной модификации наборов, без увеличения стоимости ... (недостаток деталей, вот почему я называю этоэскизом). Таким образом, удаление { a i , a ′ i } множеств из C ′ дает решение C для ( F , U $C'$$\{a_i, a_i'\}$$a_i$$a_i'$$\{a_i, a_i'\}$$C'$$C$k = 3 ) стоимостью 5 н + 1 . $(F,U,k=3)$$5n+1$$\diamond$