События с высокой вероятностью без координат с низкой вероятностью

Пусть - случайная величина, принимающая значения в (для некоторого большого алфавита ), которая имеет очень высокую энтропию - скажем,для сколь угодно малой постоянной . Пусть - событие в опоре такое что , где \ varepsilon - сколь угодно малая константа.$X$$\Sigma^n$$\Sigma$$H(X) \ge (n- \delta)\cdot\log|\Sigma|$$\delta$$E \subseteq \rm{Supp}(X)$$X$$\Pr[X \in E] \ge 1 - \varepsilon$$\varepsilon$

Будем говорить , что пара $(i,\sigma)$ является низкая вероятность координат в $E$ , если $\Pr[X \in E | X_i = \sigma] \le \varepsilon$ . Мы говорим, что строка $x \in \Sigma^n$ содержит координату с низкой вероятностью $E$ если $(i, x_i)$ является координатой с низкой вероятностью $E$ для некоторого $i$ .

В общем, некоторые строки в $E$ могут содержать низкие координаты вероятностных $E$ . Вопрос в том, можем ли мы всегда найти событие с высокой вероятностью $E' \subseteq E$ такое, что ни одна строка в $E'$ содержит координаты низкой вероятности $E'$ (а не $E$ ).

Спасибо!

Вот пример, дополняющий ответ Гарри Юэна. Для контрпримера достаточно определить соответствующие и показать, что любое большое подмножество должно иметь координату с низкой вероятностью - координата с низкой вероятностью обязательно является координатой с низкой вероятностью -координат .$X,E$$E'\subseteq E$$E$$E$$E'$

Кроме того, я проигнорирую условие об энтропии - добавление независимых равномерно распределенных случайных величин к (и перевод в ) увеличитпочти до не влияя на то, существует ли такое (я не тщательно продумал это).$N$$X$$E$$E\times \Sigma^N$$H(X)/(n+N)\log|\Sigma|$$1$$E'$

Вот пример. Пусть - случайный элемент из такой, что каждый вектор с весом Хэмминга (т. Е. Векторы вида ) имеет вероятность и вектор единиц имеет вероятность . Пусть - множество векторов с весом Хэмминга .$X$$\{0,1\}^n$$1$$0\dots 010\dots 0$$(1-\epsilon)/n$$1\dots 1$$\epsilon$$E$$1$

Рассмотрим подмножество . Если не пустой, он содержит вектор веса Хэмминга , скажем, без потери общности. Но , что меньше если равно около .$E'\subseteq E$$E'$$1$$100\dots 0$$\Pr[X \in E'|X_i=1]=\frac{(1-\epsilon)/n}{(1-\epsilon)/n + \epsilon}$$\epsilon$$n$$2/\epsilon^2$

Как по сравнению с ? Если может быть , то я думаю, что мы можем выполнить то, что вы хотите. Пусть . Обратите внимание , что дается вероятностной массы под . Пусть обозначает массу вероятности, присвоенную строкам в , что я координата имеет символ .$\epsilon$$n$$\epsilon$$O(1/\sqrt{n})$$B = \mbox{Supp}(X) - E$$B$$\epsilon$$X$$\lambda(i,\sigma)\epsilon$$B$$i$$\sigma$

Пусть были низкая вероятность координат для некоторых строк в . Пусть обозначает массу вероятности, назначенную этим строкам. Тогда по определению , подразумевая, что . Мы можем отбросить эти строки с низкой вероятностью, потерпев только потерю в prob. масса на .$(i,\sigma)$$E$$\delta(i,\sigma)$$\frac{\delta(i,\sigma)}{\delta(i,\sigma) + \lambda(i,\sigma)\epsilon} \leq \epsilon$$\delta(i,\sigma) \leq 2\lambda(i,\sigma)\epsilon^2$$\delta(i,\sigma)$$E$

Продолжайте делать это для всех возможных плохих , и в конце концов мы отбрасываем не более . При этом используется тот факт, что для всех , .$(i,\sigma)$$\sum_{i,\sigma} \delta(i,\sigma) \leq \sum_{i} \sum_{\sigma} 2\lambda(i,\sigma)\epsilon^2 \leq 2\sum_{i} \epsilon^2 = 2n\epsilon^2$$i$$\sum_{\sigma} \lambda(i,\sigma) = 1$

Если вы хотите, чтобы имел вероятностную массу , то должен быть таким, чтобы или достаточно.$E'$$1 -\gamma$$\epsilon$$\epsilon + 2n\epsilon^2 \leq \gamma$$\epsilon = O(\gamma/\sqrt{2n})$

Мне пока не ясно, можно ли избавиться от этой зависимости от ; Я продолжу думать об этом.$n$