Классы семантической и синтаксической сложности

В своей книге «Вычислительная сложность» Пападимитриу пишет:

RP в некотором смысле новый и необычный вид сложности класса. Ни одна полиномиально ограниченная недетерминированная машина Тьюринга не может быть основой для определения языка в RP. Чтобы машина N могла определить язык в RP , она должна обладать замечательным свойством, которое на всех входах она либо отклоняет единогласно , либо принимает большинством . Большинство недетерминированных машин ведут себя по-другому, по крайней мере, на некоторых входах ... Нет простого способа определить, всегда ли машина останавливается с сертифицированным выходом. Мы неофициально называем такие классы семантическими классами , в отличие от таких синтаксических классов , как P и NP.где мы можем немедленно определить поверхностной проверкой, действительно ли соответствующим образом стандартизированная машина определяет язык в классе.

Несколько страниц спустя он указывает, что:

язык L находится в классе PP, если существует недетерминированная полиномиально ограниченная машина Тьюринга N, такая, что для всех входов x, если только более половины вычислений N на входе x в конечном итоге принимают. Мы говорим, что N решает L большинством .$x \in L$

Вопрос 1: Почему Пападимитриу приходит к выводу, что PP является синтаксическим классом, а его определение лишь немного отличается от определения в RP ?

Вопрос 2: Является ли «семантическое» для класса сложности эквивалентно НЕ иметь полных проблем, или отсутствие полных проблем воспринимается как свойство, которым мы обладаем семантическими классами GUESS?

Изменить: См. Связанную тему Все ли классы сложности имеют характеристики языка листьев?

RP включает в себя обещание, что либо 0 путей принимают, либо принимают более половины, независимо от того, что ввод. Для ПП такого обещания нет. Если более половины пути принимают, то , в противном случае, . (PP можно определить так, чтобы критерии составляли и соответственно.)х ∉ L ≥ 1 / 2 < 1 /$x \in L$$x \notin L$$\geq 1/2$$< 1/2$

Или, другими словами, если я дам вам вероятностную TM, утверждающую, что это машина PP, решающая какой-то язык, вы можете быть уверены, что она решит какой-то язык. Ясно, что язык, который он решает, является следующим: Попробуйте ввести . Посмотрите, принимает ли более 1/2 пути (или более 1/2 случайных строк, которые его принимают). Если да, . Если нет, . Итак, мы определили язык, используя эту ТМ.x ∈ L x ∉ $x$$x \in L$$x \notin L$

С другой стороны, если я дам вам вероятностную TM, утверждающую, что это RP-машина, решающая какой-то язык, вы даже не можете быть уверены, что она решит какой-либо язык. Проблема в том, что когда вы наблюдаете принятие только нескольких путей, вы не знаете, находится ли в или нет. Так что, если я дам вам RP-машину, вы просто должны поверить мне на слово. Действительно, проверка того, определяет ли этот компьютер язык, невычислима.$x$$L$

Что касается вашего второго вопроса, то для синтаксических классов обычно существует очевидная полная проблема, которая выглядит так: «Для заданной машины M решите, принимает ли она время T на входе x». Если у вас есть недетерминированный компьютер, эта проблема является NP-полной, если это PP-машина, то она PP-полная и т. Д. Очевидная полная проблема для семантических классов, как я уже говорил, неразрешима. Таким образом, мы не получаем полную проблему бесплатно для семантических классов. Но у семантического класса может быть полная проблема. Например, если P = BPP (как принято считать), то BPP имеет синтаксическую характеристику.

РЕДАКТИРОВАТЬ : Поскольку есть некоторые дискуссии о том, как определить семантические и синтаксические классы, я хотел бы отметить, что Пападимитриу дает определение в своей книге, говоря о листовых языках. (См. Мой вопрос о листовых языках для некоторых ссылок.)

Он говорит, что синтаксические классы - это те, для которых существует некоторый язык, который определяет класс с использованием техники листового языка. Семантические классы - это те, для которых все такие характеристики требуют проблем с обещаниями. Это строгое определение, но оно работает только для тех языков, которые имеют листовые языковые характеристики.

Ответ на ваш первый вопрос заключается в том, что в определении нет «обещания» для машины, как с . Каждый случайный многочленный множитель определяет некоторый язык : на каждом входе либо машина принимает случайных путей вычислений на соответствующих входах, либо нет. Первый случай означает, что в языке, второй случай означает, что его нет.Р Р Р Р > 1 / 2 $PP$$RP$ $PP$$> 1/2$$x$

Следовательно, как и в случае с и , мы можем дать рекурсивный список всех машин , просто перечислив все рандомизированные машины с многопоточностью. В отличие от этого, с существуют рандомизированные машины, которые принимают (например) ровно одну из случайных строк на входе, и в этом случае машина не удовлетворяет ни одному из условий для : она не принимает на своей случайные строки, и он не отклоняет все строки. Следовательно, эта рандомизированная машина не является машиной в том смысле, что она имеет «неопределенное» поведение на некотором подмножестве входов. Это приводит к определениюН Р Р Р Р Р Р Р > 1 / 2 Р Р Р г о м я сек е - Р $P$$NP$$PP$$RP$$RP$$> 1/2$$RP$$Promise-RP$, где вы рассматриваете «проблемы обещания», которые допускают произвольное поведение на некоторых строках. См. Зоопарк Сложности для больше.

Это приводит к вопросу 2. Проблема с понятием «семантический класс» заключается в том, что он зависит от машин, которые вы используете для определения класса, и, следовательно, его очень трудно правильно определить. (Я не уверен, что когда-либо было дано полностью удовлетворительное определение.) Быть «семантическим классом» примерно эквивалентно указанному выше свойству: не каждая машина (в естественном списке машин) будет удовлетворять необходимым условиям принятия / отклонения для вашего класса, и, следовательно, «сложно» получить список машин, которые принимают именно языки в вашем классе. Но если , то есть некоторый легко вычислимый список некоторыхП = Б П $P=BPP$машины, которые принимают в точности языки вашего класса, а именно список машин, вычисляемых за полиномиальное время. Следовательно, может показаться, что если окажется, что , мы превратили семантический класс в синтаксический.$P=BPP$

Если бы это действительно было так, что просто не существует легко вычислимого списка машин (любого разумного типа), которые бы принимали именно ваш класс, тогда да, я не думаю, что у вашего класса может быть полный язык. Но это кажется очень трудно правильно оформить, не говоря уже о том, чтобы доказать.