Емкость Уникально Решаемой Головоломки (USP)

В своей основополагающей работе Теоретико-групповые алгоритмы для умножения матриц Кон, Кляйнберг, Сегеди и Уманс вводят концепцию однозначно решаемой головоломки (определено ниже) и емкость USP. Они утверждают, что Копперсмит и Виноград, в своих собственных новаторских работах по умножению матриц с помощью арифметических прогрессий , «неявно» доказывают, что емкость USP составляет . Это утверждение повторяется в нескольких других местах (в том числе и здесь), но нигде нет объяснения. Ниже мое собственное понимание того, что доказывают Копперсмит и Виноград, и почему этого недостаточно. $3/2^{2/3}$

Правда ли, что пропускная способность USP составляет ? Если да, есть ли ссылка на доказательство? $3/2^{2/3}$

Уникально решаемые головоломки

Уникально разрешимая головоломка (USP) длиной и шириной состоит из подмножества размера , которое мы также рассматриваем как три набора из «кусочков» (соответствующих места, где векторы равны , места, где они равны , и места, где они равны ), удовлетворяющие следующему свойству. Предположим, мы расположили все фигуры в строках. Тогда должен быть уникальный способ поместить другие части, по одному каждого типа в каждую строку, чтобы они «подходили». $n$ $k$ $\{1,2,3\}^k$ $n$ $n$ $1$ $2$ $3$ $1$ $n$

Пусть - максимальная длина USP ширины . Емкость USP , является В USP каждая из частей должна быть уникальной - это означает, что никакие две строки не содержат символ в одинаковых местах. Это показывает (после короткого спора), что и т. д. , $N(k)$ $k$

κ = sup_{k} N (k)^{1 / k} .

$\kappa = \sup_k N(k)^{1/k}.$

c \in {1, 2, 3}

$c \in \{1,2,3\}$

N (k) \leq \sum_{a + b + c = k} min {(\binom{k}{a}), (\binom{k}{b}), (\binom{k}{c})} \leq (\binom{k + 2}{2}) (\binom{k}{k / 3}),

$N(k) \leq \sum_{a+b+c=k} \min \left\{ \binom{k}{a}, \binom{k}{b}, \binom{k}{c} \right\} \leq \binom{k+2}{2} \binom{k}{k/3},$

κ \leq 3 / 2^{2 / 3}

$\kappa \leq 3/2^{2/3}$

Пример (USP длины и ширины ): Не пример длины и ширины , где - и части могут быть расположены двумя различными способами: $4$ $4$

\begin{aligned} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ 2233 \end{aligned}

$\begin{align*} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ 2233 \end{align*}$

3

$3$

3

$3$

2

$2$

3

$3$

\begin{aligned} 123 & 132 \\ 231 & 321 \\ 312 & 213 \end{aligned}

$\begin{align*} 123 && 132 \\ 231 && 321 \\ 312 && 213 \end{align*}$

Игры пазлы Медник-Виноград

Головоломка Копперсмита-Винограда (CWP) длиной и шириной состоит из подмножества размером размера в котором «кусочки» уникальны - для любых двух и , (Они представляют это несколько иначе.) $n$ $k$ $S$ $\{1,2,3\}^k$ $n$ $a \neq b \in S$ $c \in \{1,2,3\}$

{i \in [k] : a_{i} = c} \neq {i \in [k] : b_{i} = c} .

$\{ i \in [k] : a_i = c \} \neq \{ i \in [k] : b_i = c \}.$

Каждый USP - это CWP (как мы прокомментировали выше), поэтому емкость CWP удовлетворяет . Выше мы отметили, что . Копперсмит и Виноград показали, используя сложный аргумент, что . Их аргумент был упрощен Штрассеном (см. Теорию алгебраической сложности ). Мы нарисуем простое доказательство ниже. $\lambda$ $\lambda \geq \kappa$ $\lambda \leq 3/2^{2/3}$ $\lambda = 3/2^{2/3}$

Для заданного пусть состоит из всех векторов, содержащих каждый из с, с, с. Для пусть состоит из всех пар таких что , и положить . Каждое независимое множество в графе является CWP. Хорошо известно, что каждый граф имеет независимый набор размеров(доказательство: выберите каждую вершину с вероятностью и удалите одну вершину из каждого оставшегося ребра). В нашем случае $k$ $V$ $k/3$ $1$ $2$ $3$ $c \in \{1,2,3\}$ $E_c$ $a,b \in V$ $\{ i \in [k] : a_i = c \} = \{ i \in [k] : b_i = c \}$ $E = E_1 \cup E_2 \cup E_3$ $G = (V,E)$ $|V|^2/4|E|$ $|V|/2|E|$

| V | = (\binom{k}{k / 3}) (\binom{2 k / 3}{k / 3}), | E | \leq 3 | E_{1} | = \frac{3}{2} (\binom{k}{k / 3}) {(\binom{2 k / 3}{k / 3})}^{2} .

$|V| = \binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}, \quad |E| \leq 3|E_1| = \frac{3}{2}\binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}^2.$ Следовательно,

\frac{| V |^{2}}{4 | E |} = \frac{1}{6} (\binom{k}{k / 3}) ⟹ λ \geq \frac{3}{2^{2 / 3}} .

$\frac{|V|^2}{4|E|} = \frac{1}{6} \binom{k}{k/3} \Longrightarrow \lambda \geq \frac{3}{2^{2/3}}.$

— Юваль Фильмус
источник

Интересно, но есть ли здесь вопрос, или это всего лишь утверждение о недостатке в литературе?

— Дэвид Эппштейн

Вопрос в том, действительно ли пропускная способность УТП составляет , и если да, то где можно найти доказательства.

3 / 2^{2 / 3}

$3/2^{2/3}$

— Юваль Фильмус

Как и многие другие вопросы, ответ на этот вопрос можно найти в диссертации Стозерса. Местный USP является НВП , в котором единственный способ , в котором 1-часть, 2- х частей и 3- х частей может поместиться вместе , если их объединение в . Ясно, что местная USP - это USP, и конструкция из [CKSU] показывает, что емкость USP достигается местными USP (мы собираемся показать это конструктивно). $S$

Копперсмит и Виноград строят почти 2-х независимое распределение на со следующими двумя свойствами: (1) , (2) Для любого такой, что 1-кусок , 2-фрагмент и 3-кусок вместе образуют вектор : если $S$ $2^V$ $\Pr[x \in S] = (|V|/2|E|)^{1-\epsilon}$ $x,y,z \in V$ $x$ $y$ $z$ $w \in V$ , то . $x,y,z \in S$ $w \in S$

Мы выбираем случайное подмножество из соответствии с распределением, и для каждого ребра удаляем обе вершины . Ожидаемое число вершин остались примерно . Результирующий набор является локальным USP: если есть в котором 1-кусок $S$ $V$ $(x,y) \in E$ $x,y$ $(|V|^2/2|E|)^{1-\epsilon}$ $T$ $x,y,z \in T$ $x$ , 2-кусок и 3-кусок посадки, образуя часть , то , и поэтому все удаляются из . $y$ $z$ $w$ $x,y,z,w \in S$ $x,y,z$ $S$

— Юваль Фильмус
источник