Линейно независимые коэффициенты Фурье

Основное свойство векторных пространств состоит в том, что векторное пространство размерности может характеризоваться линейно независимыми линейными ограничениями, то есть существуют линейно независимых векторов , ортогональных .$V \subseteq \mathbb{F}_2^n$$n-d$$d$$d$$w_1, \ldots, w_d \in \mathbb{F}_2^n$$V$

С точки зрения Фурье это эквивалентно тому, что индикаторная функция из имеет линейно независимых ненулевых коэффициентов Фурье. Обратите внимание, что имеет в общей сложности ненулевых коэффициентов Фурье, но только из них линейно независимы.$1_V$$V$$d$ $1_V$$2^d$$d$

Я ищу примерную версию этого свойства векторных пространств. В частности, я ищу заявление в следующей форме:

Пусть имеет размер . Тогда индикаторная функция имеет не более линейно независимых коэффициентов Фурье, абсолютное значение которых равно не менее .$S \subseteq \mathbb{F}_2^n$$2^{n-d}$$1_S$$d\cdot\log(1/\varepsilon)$ $\varepsilon$

Этот вопрос можно рассматривать с точки зрения «структура против случайности». Интуитивно понятно, что такое утверждение говорит о том, что каждый большой набор может быть разложен на сумму векторного пространства и небольшого смещенного набора. Хорошо известно, что каждая функция может быть разложена на «линейную часть», в которой большой Фурье коэффициенты и «псевдослучайная часть», которая имеет небольшое смещение. Мой вопрос состоит в том, имеет ли линейная часть только логарифмическое число линейно независимых коэффициентов Фурье.$f:\mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2$$\mathrm{poly}(1/\varepsilon)$

Не является ли следующий контрпример?

Пусть будет большинством из x 1 , … , x 1 / ϵ 2 , что является индикатором множества размером 2 n / 2 , поэтому d = 1 . Тем не менее, F ( { я } ) = Θ ( ε ) для 1 ≤ я ≤ 1 / ε 2 , так что у вас есть 1 / ε $f(x)$$x_1, \ldots, x_{1/\epsilon^2}$$2^n/2$$d = 1$$\hat{f}(\{i\}) = \Theta(\epsilon)$$1 \le i \le 1/\epsilon^2$$1/\epsilon^2$ линейно независимые большие коэффициенты Фурье.

Возможно, вы хотите то, что иногда называют "леммой Чанга" или "леммой Талагранда" ... называемой "неравенством 1-го уровня" здесь: http://analysisofbooleanfunctions.org/?p=885

Это означает, что если имеет среднее значение 2 - d, то число линейно независимых коэффициентов Фурье, квадрат которых не меньше γ 2 - d , не больше O ( d / γ 2 ) . (Это потому, что F 2 -линейное преобразование на входе не меняет среднего значения, поэтому вы всегда можете переместить линейно независимые символы Фурье в степень-1.)$1_S$$2^{-d}$$\gamma 2^{-d}$$O(d/\gamma^2)$$F_2$