Использует квази-PER / дифункциональные отношения / зигзагообразные отношения?

С учетом множество и , A бифункционального соотношение между ними определяются как отношение , удовлетворяющее следующее свойство:B ( ∼ ) ⊆ A × $A$$B$ $(\sim) \subseteq A \times B$

Если и a ′ ∼ b ′ и a ∼ b ′ , то a ′ ∼ b . $a \sim b$$a' \sim b'$$a \sim b'$$a' \sim b$

Дифункциональные отношения являются обобщением концепции отношений частичной эквивалентности, которые позволяют определить понятие равенства из разных множеств. В результате они также известны как квази-PER (QPER), и они также известны как зигзагообразные отношения из-за следующей картины:

Я пишу статью, которая использует их, но у меня были проблемы с поиском хороших ссылок для их использования в семантике.

1. Мартин Хоффман использует их в « Правильности трансформации программ на основе эффектов» .
2. Я видел упоминания (но нет хороших ссылок), утверждающих, что Теннант и Такеяма также предложили их использование.

Они настолько симпатичны, что мне трудно поверить, что мое конкретное использование ими является оригинальным. Буду очень признателен за дальнейшие ссылки.

Макото Такеяма и я отправили 5 января 1996 г. на data-refinement@etl.go.jp следующее:

Тема: что такое отношение уточнения данных?

Уважаемые: кто-нибудь еще заинтересован в уточнении данных?

Недавно мы с Маком снова рассматривали идею, которую мы рассматривали много месяцев назад. Мотивация состоит в том, чтобы характеризовать логические отношения, относящиеся к отображению уточнения данных. Это было стимулировано осознанием того, что логические отношения могут использоваться для демонстрации «безопасности» абстрактных интерпретаций (см. Раздел 2.8 главы Джоунса и Нильсона в томе 4 «Руководства по логике в CS»), но такие отношения являются более общими, чем те, которые используются для отображения уточнения данных.

Мои рассуждения звучат следующим образом. Если отношение R устанавливает уточнение данных между (среди) множествами, то оно должно вызывать (частичные) отношения эквивалентности на каждом из множеств с этими классами эквивалентности в взаимно-однозначном соответствии и каждым элементом класса эквивалентности. должны быть связаны со всеми элементами соответствующих классов эквивалентности в других областях интерпретации. Идея состоит в том, что каждый класс эквивалентности представляет «абстрактное» значение; в полностью абстрактной интерпретации классы эквивалентности являются синглетонами.

Мы можем дать простое условие, гарантирующее, что n-арное отношение R индуцирует эту структуру. Определите v ~ v 'в области V, если существует значение x в некоторой другой области X (и произвольные значения ... в других областях), такое, что R (..., v, ..., x, ... ) и R (..., v ', ..., x, ...). Это определяет симметричные отношения на каждой из областей. В этом случае наложение локальной транзитивности дало бы нам персону в каждой области, но этого было бы недостаточно, потому что мы хотим обеспечить транзитивность в разных интерпретациях. Следующее условие достигает этого: если v_i ~ v'_i для всех i, то R (..., v_i, ...) тогда и только тогда, когда R (..., v'_i, ...) я называю это "зиг- заг-полнота "; в случае n = 2 это говорит о том, что если R (a, c) & R (a ', c'), то R (a, c ') тогда и только тогда, когда R (a', c).

Предложение. Если R и S - зигзагообразные полные отношения, то R x S и R -> S.

Предложение. Предположим, что t и t 'являются терминами типа th в контексте pi, а R является зигзагообразным полным логическим отношением; тогда, если суждение об эквивалентности t = t 'интерпретируется следующим образом:

для всех u_i в V_i [[pi]],
R ^ {pi} (..., u_i, ...) подразумевает, что для всех i, V_i [[t]] u_i ~ V_i [[t ']] u_i

эта интерпретация удовлетворяет обычным аксиомам и правилам эквациональной логики.

Интуиция здесь заключается в том, что термины должны быть «эквивалентными» как в пределах одной интерпретации (V_i), так и в разных интерпретациях; то есть значения t и t 'находятся в одном и том же классе индуцированной R-эквивалентности, независимо от того, какая интерпретация используется.

Вопросов:

1. Кто-нибудь видел такую ​​структуру раньше?

2. Каковы естественные обобщения этих идей для других положений и «произвольных» семантических категорий?

Боб Теннент rdt@cs.queensu.ca

Я не знаю о области семантики, но концепция, которую вы упоминаете, имеет решающее значение в сложности подсчета.

Я не видел отношения называемого дифункциональным отношением$R$$R$$m$$m(x,y,y) = m(y,y,x) = x$$x$$y$

$\mathcal{F}$$\mathcal{F}$

$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$