Вычислительная сложность умножения матриц

Я ищу информацию о вычислительной сложности матричного умножения прямоугольных матриц. Википедия утверждает, что сложность умножения на составляет (умножение в школьных учебниках).$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$$B \in \mathbb{R}^{n \times p}$$O(mnp)$

У меня есть случай, когда и намного меньше , и я надеялся получить лучшую сложность, чем linear по , за счет того, что зависимость от и хуже линейной.$m$$n$$p$$p$$m$$n$

Есть идеи?

Благодарю.

Примечание: причина, по которой я надеюсь, что это станет возможным, заключается в хорошо известном результате менее кубической зависимости от если (когда матрицы - все квадраты).$p$$m=n=p$

Классическая работа Копперсмит показывает , что при некотором , можно умножать в п × п альфа матрицу с п альфа × п матрицы в ~ O ( п 2 ) арифметических операций. Это важнейший компонент недавнего знаменитого результата Райана Уильямса.$\alpha > 0$$n \times n^\alpha$$n^\alpha \times n$$\tilde{O}(n^2)$

Франсуа ле Галль недавно улучшил работу Копперсмита, и его статья была только что принята на FOCS 2012. Чтобы понять эту работу, вам понадобятся некоторые знания теории алгебраической сложности. Статья Вирджинии Уильямс содержит некоторые соответствующие указатели. В частности, работа Копперсмита полностью описана в книге « Алгебраическая теория сложности» .

Другая часть работы концентрируется на умножении матриц приблизительно . Вы можете проверить эту работу Маген и Зузиас. Это полезно для обработки действительно больших матриц, скажем, умножения матрицы матрицы N × n , где N ≫ n .$n \times N$$N \times n$$N \gg n$

Основной подход заключается в выборке матриц (это соответствует рандомизированному уменьшению размерности) и умножении гораздо меньших выборочных матриц. Хитрость заключается в том, чтобы выяснить, когда и в каком смысле это дает хорошее приближение. В отличие от предыдущего направления работы, которое совершенно нецелесообразно, алгоритмы выборки практичны и даже необходимы для обработки больших объемов данных.