Каково смещение случайных многочленов с низкой степенью над GF (2)?

У меня есть вопрос, касающийся полиномов и вероятностей низкой степени: какова (асиптотическое поведение) вероятность того, что случайный * полином $p$ по GF (2) со степенью и n переменных имеет .$\le d$$bias(p) \triangleq |\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=0)-\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=1)| \gt \epsilon$

* Когда я пишу случайный многочлен с переменными степени $\le d$ и n, вы можете думать о каждом одночлене общей степени $\le d$ выбранном с вероятностью 1/2.

Единственная существенная вещь, которую я знаю, - это вариант Шварца-Циппеля, в котором говорится, что если многочлен непостоянен, то его смещение не превышает $1-2^{1-d}$ . Следовательно, для $\epsilon=1-2^{1-d}$ probaiblity ровно $1/{2^{{n \choose 1}+\ldots+{n \choose d}}}$ , где это вероятность того, что $p$ является постоянная. К сожалению, этот $\epsilon$ довольно большой.

Статья Бен-Элиэзера, Хода и Ловетта "Случайные полиномы низкой степени трудно приблизить" отвечает на ваш вопрос. Они показывают сильные ограничения на корреляцию случайных многочленов степени с многочленами степени не более , анализируя смещение случайных многочленов. См. Их лемму 2: смещение случайного полинома (с точностью до некоторого , линейного по ) не больше , за исключением случая с вероятностью .$d$$d-1$$d$$d$$n$$2^{-\Omega(n / d)}$$2^{-\Omega\Big(\binom{n}{\le d}\Big)}$

Ваш вопрос эквивалентен границам хвостов на распределении весов кодов Рида-Мюллера. Понимание распределения веса кодов Рида-Мюллера является старым и сложным вопросом в теории кодирования, и о нем известно несколько интересных результатов (распределение веса полностью понимается только для и ). В качестве отличной отправной точки см. «Распределение веса и размер декодирования списков кодов Рида-Мюллера» Тали Кауфман, Шахар Ловетт, Эли Порат и ссылки в них.$d=1$$d=2$