Различение между

Для заданного квантового состояния выбрано равномерно случайным образом из набора из смешанных состояний , какова максимальная средняя вероятность правильного определения ? $\rho_A$ $N$ $\rho_1 ... \rho_N$ $A$

Эту проблему можно превратить в проблему различимости двух состояний, если рассмотреть проблему отличия от $\rho_A$ . $\rho_{B} = \frac{1}{N-1}\sum_{i\neq A}\rho_i$

Я знаю, что для двух квантовых состояний проблема имеет хорошее решение с точки зрения расстояния между состояниями, когда вы минимизируете максимальную вероятность ошибки, а не минимизируете среднюю вероятность ошибки, и я надеялся, что может быть что-то подобное для Это дело. Конечно, можно записать вероятность в терминах оптимизации по POVM, но я надеюсь на то, что оптимизация уже была выполнена.

Я знаю, что существует огромная литература по различимости квантовых состояний, и за последние несколько дней я читал много статей, пытаясь найти ответ на этот вопрос, но у меня возникают проблемы с поиском ответа на этот вопрос. конкретный вариант проблемы. Я надеюсь, что кто-то, кто знает эту литературу лучше, может сэкономить мне время.

Строго говоря, мне не нужна точная вероятность, подойдет хорошая верхняя граница. Однако разница между каким-либо одним состоянием и максимально смешанным состоянием довольно мала, поэтому граница должна быть полезной в этом пределе.

— Джо Фитцсимонс
источник

Поскольку вероятность правильного ответа является максимальным значением полуопределенной программы, часто полезно рассмотреть двойственное значение, чтобы получить верхнюю границу.

— Цуёси Ито

@TsuyoshiIto: Действительно, но я догадывался, что эта проблема хорошо изучена и что возможный результат может быть.

— Джо Фицсимонс

Знаете ли вы, если на аналогичные вопросы для классических распределений вероятностей есть хороший ответ? Упомянутый вами результат «расстояние трассировки» является обобщением использования «статистического расстояния» (он же «общее расстояние отклонения») для классических распределений. [В классическом случае естественной стратегией является выбор распределения, которое, скорее всего, дало бы конкретный результат. Вы можете записать закрытую форму для ее вероятности успеха, хотя я не знаю, можно ли ее выразить в виде простой величины (например, среднего расстояния между распределениями).]

— Адам Смит

@AdamSmith: Классически кажется, что вы можете просто взвесить каждое распределение по вероятности его возникновения, а затем выбрать то, которое наиболее вероятно даст результат, который вы наблюдаете.

— Джо Фицсимонс

Как вы упомянули, можно численно определить оптимальную среднюю вероятность успеха, что может быть эффективно выполнено с помощью полуопределенного программирования (см., Например, эту статью Эльдара, Мегрецкого и Вергезе или эти лекционные заметки Джона Уотроуса), но выражение закрытой формы не является известный.

$\frac{1}{N^2} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)$ $\frac{2}{N} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)^{1/2}$

$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{N(N-1)} \sum_{i>j} tr|\rho_i-\rho_j|)$ $N=2$

— Эшли Монтанаро
источник

Здорово, спасибо, Эшли. Нижняя граница вероятности ошибки с точки зрения расстояния трассировки - это почти то, что я искал. На самом деле, мой план резервного копирования, если я не смог получить хороший ответ, должен был отправить вам электронное письмо, так как я знаю, что вы работали над этим.

— Джо Фицсимонс

Существуют ли ограничения, которые хорошо работают в пределе вероятности ошибки, близкой к 1? Кажется, что расстояние следа максимально до 1/2. В данный момент я пытаюсь выполнить верность, но не думаю, что смогу точно рассчитать точность в задаче, над которой я работаю, и границы, которые вы даете, кажутся очень чувствительными к аддитивным ошибкам.

— Джо Фицсимонс

1 - ϵ

$1-\epsilon$

ϵ

$\epsilon$