Проективная плоскость порядка 12

Цель : сформулировать гипотезу об отсутствии проективной плоскости порядка 12.

В 1989 году, используя компьютерный поиск на Крей, Лэм доказал, что проективной плоскости порядка 10 не существует. Теперь, когда число Бога для кубика Рубика было определено после нескольких недель масштабного поиска грубой силы (плюс умная математика симметрии), мне кажется, что эта давняя открытая проблема может быть в пределах досягаемости. (Плюс, возможно, мы могли бы использовать такие методы для решения чего-то математически фундаментального.) Я надеюсь, что этот вопрос может послужить проверкой здравомыслия.

Куб был решен путем уменьшения общего размера задачи до «только» 2 217 093 120 отдельных тестов, которые можно было выполнять параллельно.

Вопросов:

Было показано несколько особых случаев небытия. Кто-нибудь знает, если мы удалим их и проведем исчерпывающий поиск по остальным, если размер проблемы будет порядка поиска куба? (Может быть, много надеяться на то, что кто-то знает это ....)
Любая частичная информация в этом ключе?

Отредактировано, чтобы добавить: я задал этот вопрос на MathOverflow здесь . До сих пор кажется, что из известных частичных результатов сокращение пространства поиска не достигается. Я до сих пор не знаю размер общего пространства поиска.

open-problem

— Аарон Стерлинг
источник

знаете ли вы какие-либо хорошие ссылки на особые случаи небытия, которые вы упомянули? Или, может быть, просто общая ссылка / набор ссылок для случая порядка 12?

— Даниэль Апон

Это выглядит лучше подходит для MathOverflow. Есть ли сильная связь с теоретической информатикой? (С другой стороны: насколько сложно решить, учитывая целое число n, существует ли проективная плоскость порядка n? Полиномиальное время? NP-

— сложнее

@ Джефф, спасибо, мне было интересно, стоит ли мне спросить об этом. Я думаю, что это может быть применение TCS для комбинаторики, но я не рассматриваю это как «важный» результат, просто высокопоставленный фрукт, который теперь может быть низко зависающим из-за скоростей процессора и облака. Я не знаю ответа на ваше решение проблемы. Итак ... я подожду несколько дней, затем отправлю сообщение в МО со ссылкой здесь.

— Аарон Стерлинг

Мне нравится переформулировка Джеффа. Может быть, стоит опубликовать еще один вопрос :)

— Suresh Venkat

Я вижу потенциальное применение информатики в комбинаторике, но не теоретической информатике, которая (согласно моим собственным пристрастиям) об ограничении поведения вычислений по мере того, как размер входных данных увеличивается до бесконечности. Нахождение числа Бога было впечатляющим техническим достижением, но не ясно, требовало ли оно какого-либо алгоритмического понимания или что оно будет иметь какое-либо алгоритмическое воздействие. (Я хотел бы быть исправленным в этом пункте.)

— Джеффс

Ответы:

(Больше комментарий, чем ответ :)

Конечные проективные плоскости существуют для значений n, которые являются степенями простого числа, и существует бесконечно много значений n, которые исключаются из теоремы Р. Х. Брука и Х. Райзера, которая была обобщена для построения планов Чоула:

http://en.wikipedia.org/wiki/Bruck%E2%80%93Chowla%E2%80%93Ryser_theorem

n = 10, как было сказано, было решено (никакой плоскости не существует) с помощью компьютерного поиска, поэтому первое значение n, не исключенное Бруком-Райзером, равно n = 12. Однако работа компьютера, похоже, не дала нового понимания, поскольку к тому, есть ли только главные самолеты власти. Кажется, что необходимы новые математические методы для понимания широко распространенной гипотезы о существовании только основных силовых плоскостей.

— Иосиф Малкевич
источник

Существует предположение, что если sigma (n)> 2n, то нет ни конечной проективной плоскости (FPP) порядка n, ни полного ей взаимно ортогонального латинского квадрата (CMOLS), который ей соответствует. Где сигма (n) обозначает сумму положительных делителей n, включая сам n. Фактически, когда сигма (n)> 2n означает, что число n является обильным. и 12 - наименьшее число из всех существующих. Ниже приведены все многочисленные числа для 1> n> 500: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 176, 180, 186, 190, 196, 198, 200, 204, 210, 216, 220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260, 264, 270, 272, 276, 280, 282, 294, 300, 304, 306, 308, 312, 318, 320, 324, 330, 336, 340, 342, 348, 350, 352, 354, 360, 364,

из " На проективных планах порядка 12" Муатаз Абдолхади Башир и Эндрю Раджа

— Башир
источник