Несовершенный изоморфизм подграфа

Рассмотрим следующую проблему: учитывая граф запросов $G = (V, E)$ и опорный граф , мы хотим найти инъективное отображение которое минимизирует количество ребра такие, что . Это обобщение проблемы изоморфизма подграфа, где мы позволяем подграфам быть изоморфными вплоть до нескольких отсутствующих ребер и хотим найти способ минимизировать количество отсутствующих ребер. $G' = (V', E')$ $f : V \rightarrow V'$ $(v_1, v_2) \in E$ $(f(v_1), f(v_2)) \notin E'$

Я также был бы заинтересован в взвешенной версии этой задачи, где пары вершин несут вес (который должен быть равен нулю, если и аналогично для , и мы хотим минимизировать ( нужно ли штрафовать только веса из графа запросов, которые больше, чем у эталонного графа). $(v_1, v_2) \in V^2$ $w(v_1, v_2)$ $(v_1, v_2) \notin E)$ $G'$ $\sum_{v_1, v_2} (\max(0, w(v_1, v_2) - w(f(v_1), f(v_2))))$ $\max$

Мой вопрос: эта проблема уже изучена? У него есть известное имя? Известны ли эффективные алгоритмы аппроксимации?

Мотивация этой проблемы (помимо того, что она кажется естественным обобщением проблемы изоморфизма подграфа) заключается в том, что это хороший способ составить план стола для вечеринки: граф запросов - это граф гостей с весами ребер представляющий степень, в которой хотят взаимодействовать два человека, на контрольном графике места в таблице представлены в виде вершин и весов ребер, указывающих, в какой степени возможна связь, решение проблемы заключается в сопоставлении людей с местами за столом, которое учитывает социальную структуру и в максимально возможной степени.

— a3nm
источник

Зачем вам нужно «индуцировано» в названии?

— Yota Otachi

@Yota Otachi: Потому что я все испортил. Благодарность!

— a3nm

Ваша задача - Задача максимального общего краевого подграфа (Max CES), определяемая следующим образом: для двух графов и найдите граф с максимальным числом ребер, изоморфным подграфу и подграфу . $G$ $G'$ $H$ $G$ $G'$

Доказательство : Вы найти подграф из , изоморфного подграфа , где сводится к минимуму Так как является инвариантом группы , минимизируется тогда и только тогда, когда максимально Ясно, что изоморфна подграфу и подграфу $H$ $G$ $G'$ $|E_{G}| - |E_{H}|$ $|E_{G}|$ $G$ $|E_{G}| - |E_{H}|$ $|E_{H}|$ $H$ $G$ . QED $G'$

Аппроксимируемость. В докторской диссертации Канна я обнаружил описание «неизвестно, что оно аппроксимируется в пределах константы» [3] (с. 115). В недавней статье Bahiense et al. [1], упоминается, что если и не обязаны быть равными, проблема становится APX-трудной. Но цитата для этого результата - неопубликованное личное сообщение [2]. $|V_{G}|$ $|V_{G'}|$

Л. Баиенсе, Г. Маник, Б. Пива, СиСи де Соуза. Задача о подграфе максимального общего ребра: многогранное исследование. Дискретная прикладная математика, чтобы появиться. DOI: 10.1016 / j.dam.2012.01.026
М. М. Халлдорссон, Личное общение, неопубликованная рукопись, 1994.
В. Канн. Об аппроксимируемости NP-полных задач оптимизации. Кандидат наук. Дипломная работа, отчет NADA TRITA-NA-9206, 1992. http://www.nada.kth.se/~viggo/papers/phdthesis.pdf

— Йота Отачи
источник

Похоже, это действительно эквивалентно моей проблеме. Большое спасибо! Вам известны результаты по взвешенной версии Max CES?

— a3nm

Понятия не имею о взвешенной версии. Я думаю, что

должно быть

, верно?

max_{v_{1}, v_{2}} max (\dots)

$\max_{v_1,v_2} \max (\ldots)$

\sum_{v_{1}, v_{2}} max (\dots)

$\sum_{v_1,v_2} \max (\ldots)$

— Йота Отачи

Да, сумма более естественна, если мы хотим обобщить невзвешенный случай, хотя я думаю, что может иметь смысл минимизировать сумму квадратов или любую функцию разности весов.

— a3nm

Спасибо за редактирование. Я согласен, что в качестве штрафа естественно использовать сумму различий в весе (или любую другую функцию).

— Йота Отачи