Büchi автомат с приемной стратегией

Проблема

Пусть - автомат Büchi, распознающий язык . Мы предполагаем , что имеет стратегию приема в следующем смысле: существует функция , которые могут быть использованы для пилотных серий . Мы формализуем это следующими условиями: $A=\langle \Sigma, Q, q_0,F,\Delta\rangle$ $L\subseteq\Sigma^\omega$ $A$ $\sigma:\Sigma^*\to Q$ $A$

$\sigma(\epsilon)=q_0$
для всех $u\in\Sigma^*$ и $a\in\Sigma$ , $(\sigma(u),a,\sigma(ua))\in\Delta$
для всех $w=a_0a_1a_2\dots\in L$ прогон, пилотируемый $\sigma$ , принимает, т.е. последовательность $\sigma(\epsilon),\sigma(a_0),\sigma(a_0a_1),\sigma(a_0a_1a_2),\dots$ имеет бесконечно много элементов в $F$ .

Чтобы определить условия, $A$ может принять любое слово на своем языке, не догадываясь о будущем.

Тогда, при этих предположениях относительно $A$ , верно ли, что $A$ можно определить, просто удалив переходы? Другими словами, можем ли мы всегда выбирать следующий переход в зависимости только от текущего состояния и буквы? Есть ли какие-либо ссылки на эту тему? Тот же вопрос может быть задан для автоматов co-Büchi, а в более общем случае - для автоматов четности.

Что известно

Вот некоторые частичные результаты.

Во-первых, мы можем ограничить недетерминированным выбором между состояниями, имеющими одинаковый остаток. Действительно, если является язык , принятый от , допускающим стратегия не может выбрать над в какой - то момент, если есть . $\sigma$ $L(q)$ $q$ $q_1$ $q_2$ $w\in L(q_2)\setminus L(q_1)$

Обратите внимание, что оставшиеся варианты имеют значение, поэтому, несмотря на интуицию, этого недостаточно, чтобы избавиться от недетерминизма. Это потому, что можно оставаться до бесконечности в хорошем остатке (т. Е. Остаток слова находится в остатке), но отвергать слово, потому что не видно бесконечно много состояний Бучи. Это главная трудность проблемы: бесконечный забег может быть неправильным, без какой-либо фатальной ошибки в какой-то момент.

Во- вторых, проблема будет решена , если , то есть все слова принимаются . В этом случае мы можем рассматривать как игру Büchi, где Игрок I выбирает вводимые буквы, а Игрок II выбирает переходы. Затем мы можем использовать позиционную определенность игр Бючи, чтобы извлечь позиционную стратегию для Игрока II. Этот аргумент работает даже в более общем случае автоматов четности. Сложность этой проблемы связана с тем, что некоторые слова не находятся в , и в этом случае у стратегии может быть любое поведение. $L=\Sigma^\omega$ $A$ $A$ $L$ $\sigma$

В- третьих, здесь является доказательством того, что в условиях, язык в классе детерминированных языков Бучи, засвидетельствовано автомата с состояниями . Обратите внимание, что это означает, что не может быть каким-либо -регулярным языком, например, если , никакой стратегии соответствующей условиям, быть не может. $L$ $2^Q$ $L$ $\omega$ $L=(a+b)^*a^\omega$ $\sigma$

Мы начнем с ограничения переходов в соответствии с первым замечанием: единственные варианты, которые мы можем сделать, не влияют на остаточный язык. Мы берем только наследников с максимальным остатком, они должны существовать, потому что существует . $\sigma$

Затем мы строим следующим образом. является автоматом подмножества , но каждый раз, когда состояние Büchi появляется в компоненте, все остальные состояния могут быть удалены из компонента, и мы начинаем снова с синглтона . Тогда мы можем установить . Можно проверить , что является детерминированным Бюх автоматом для . $A'=\langle \Sigma, 2^Q, \{ q_0\},F',\Delta'\rangle$ $A'$ $A$ $q$ $\{ q\}$ $F'=\{\{ q\} : q\in F\}$ $A'$ $L$

Наконец, объединяя второе и третье замечания, мы всегда можем получить конечную стратегию памяти , используя позиционную стратегию для игрока II в игре где игрок I выбирает буквы, игрок II выбирает переходы в и выигрывает, если принимает всякий раз, когда принимает. $\sigma$ $A\times A'$ $A$ $A$ $A'$

— Денис
источник

Напишите для (детерминированного) автомата с удаленными переходами. Пусть слово в . Тогда по вашим условиям является прогоном и принимает, таким образом, . И наоборот, любой прием пробег является , в частности , принимающего пробега , таким образом .

A_{σ}

$A_\sigma$

w = w_{0} w_{1} \dots

$w=w_0w_1\cdots$

L

$L$

σ (w_{0}) σ (w_{0} w_{1}) \dots

$\sigma(w_0)\sigma(w_0w_1)\cdots$

A_{σ}

$A_\sigma$

L \subseteq L (A_{σ})

$L\subseteq L(A_\sigma)$

A_{σ}

$A_\sigma$

A

$A$

L (A_{σ}) \subseteq L

$L(A_\sigma)\subseteq L$

— Сильвен

@Sylvain: какие переходы удалены?

— Дейв Кларк,

Я предполагаю, что вы называете автоматом ограниченным переходами, используемыми в стратегии . Проблема в том, что у вас нет никаких гарантий, что является детерминированной. Например, предположим, что и , тогда не является детерминированным.

A_{σ}

$A_\sigma$

A

$A$

σ

$\sigma$

A_{σ}

$A_\sigma$

σ (a) = σ (ϵ) = q_{0}

$\sigma(a)=\sigma(\epsilon)=q_0$

σ (a a) = q_{1}

$\sigma(aa)=q_1$

A_{σ}

$A_\sigma$

— Денис

Я также публикую это на mathOverflow, с более подробной информацией о предыдущей работе здесь: mathoverflow.net/questions/97007/… , это нормально?

— Денис

Как правило, кросс-постинг не допускается, если вы не получили ответ по прошествии достаточного количества времени. Учитывая, что по этому вопросу есть открытая награда, я бы подождал несколько дней. Вы можете удалить другую публикацию и открыть ее через несколько дней. (Кроме того, другая публикация должна ссылаться на эту.)

— Дейв Кларк

Оказывается, ответ «нет», некоторые контрпримеры можно найти в этой статье .

— Денис
источник

Спасибо за обновление, но расплывчато! какая команда? они опубликовали? планировать? как ты услышал? как они нашли это? есть ли причина, по которой они его искали? это теоретическое любопытство или оно связано с какой-то большей проблемой или применением? и т.д

— взн

см. этот ответ для более подробной информации: cstheory.stackexchange.com/a/24918/8953

— Денис

-1

Как вы указали, недетерминированные и детерминированные автоматы Бучи принимают разные языки. Самая известная «детерминация» для автомата Бучи дана Safra (поиск «конструкция Safra» в Интернете. Вот один документ, который появляется: www.cs.cornell.edu/courses/cs686/2003sp/Handouts/safra.pdf) , Процедура довольно сложна и включает преобразование данного автомата Бучи в детерминированный автомат Рабина (имеющий «принятие» F-состояний и «отклонение» G-состояний: \ sigma имеет только конечное число состояний в G). Конструкция Safra включает в себя гораздо больше, чем просто удаление переходов и / или обычной конструкции подмножества.

— Sudeep
источник

σ

$\sigma$