Форма основных уравнений и операторской суммы

12

Я скорее специалист по квантовой оптике, чем специалист по квантовой информации, и занимаюсь главным образом уравнениями мастера. Меня интересует форма оператор-сумма, и я хотел бы получить ошибки в этой форме для небольшой квантовой системы, которую я моделирую.

Подвох: Квантовая система управляется внешним (классическим) полем, моделируемым синусоидальной функцией, и скорости демпфирования низкие, поэтому я не могу сделать приближение вращающейся волны, чтобы устранить эту зависимость от времени. Учитывая, что я должен решить главное уравнение численно путем интегрирования, и результат каждого интегрирования в момент времени не является достаточной информацией, чтобы выяснить эти ошибки, и мне нужно проделать некоторую работу, чтобы восстановить матрицу супероператора, которая работала на векторизованной плотности матрица. т.е. я задаю основному уравнению векторизованную матрицу плотности с одной записью 1 и остальными нулями, и строю такую матрицу в течение определенного времени . Я на правильном пути здесь (проверка работоспособности)? Более явно, если $t$ $\tau$ - это векторизованная (так что это вектор-столбец) форма матрицы плотности с одной записью 1 в позиции , в момент времени , которая эволюционировала до времени , затем матрица принять векторную форму матрицы плотности от до задается как $\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})$ $i,j$ $t=0$ $\tau$ $t=0$ $t=\tau$ . $\mathbf{M}=\sum_{i,j}\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=0})\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})^\dagger$

Вопрос: учитывая этот супероператор который делает $\mathbf{M}$ , как я могу получить операторы Краусса для операторно-суммы эквивалента которые находятся в полезной форме? то есть рассматриваемая система является кубитом или критритом и другим кубитом или критритом. Я хотел бы иметь возможность делать операторную сумму в виде тензорных произведений спиновых матриц на каждом канале, если это возможно. $\mathbf{M}\,\mathrm{vec}(\rho_0)=\mathrm{vec}(\rho_\tau)$ $\mathbf{M}$

Дополнительный вопрос: является ли матрица Чой? $\mathbf{M}$

Последнее замечание: я вручил Пинье признание, так как использовал предложенную Пинью бумагу. Я сам дал ответ, который заполняет детали.

quantum-information

— qubyte
источник

Что вы подразумеваете под «рассматриваемая система - это кубит или критрит и другой кубит или критрит». - что такое "другая система"? Вы говорите о вспомогательной системе, необходимой для реализации этого канала, используя унитарные + трассировки? В этом случае обратите внимание, что размерность вспомогательного объекта может быть до D ^ 2, поэтому кубиты не подойдут.

— Норберт Шух

Нет, на данный момент это просто игрушечная модель, состоящая из двух небольших квантовых систем, которые связаны друг с другом и имеют разные времена T1 и T2. Ответ на этот вопрос не вызывает серьезного беспокойства. Это больше интересует, так как было бы полезно узнать больше о том, как сделать это в будущем.

— qubyte

Могу ли я перенести этот вопрос в CS Theory, а не в Physics, пожалуйста?

— кв

Ну ... я думаю, что это было бы хорошо здесь, но хорошо.

— Дэвид Z

Благодарю. Извините, просто не большой поклонник Physics.SE, и в любом случае, я думаю, что вопросы QI, ориентированные на исследования, подойдут здесь лучше (после убеждения).

— кв

9

Я работал над очень похожей проблемой в моей магистерской диссертации, в которой я изучал немарковскую динамику управляемого кубита в диссипативной среде. Я интересовался проверкой того, что полученное мной мастер-уравнение было полностью положительным, но это только одна сторона вашей проблемы. Вопрос оказался очень нетривиальным, если RWA не сделан, но я смог получить некоторые результаты, используя Ref. [ J мод. Оптик 54, 1695 (2007) ] и используя тот факт, что кубит слабо связан с окружающей средой. Я побью свой барабан, а также дам Реф. к статье, где я представляю некоторые из этих результатов, [П. Haikka и S. Maniscalco, Phys. Rev. A 81, 052103 (2010)] , вы можете найти это полезным.

Ах! Оказывается, я уже несколько дней смотрю на статью Андерссона. Это кажется очень многообещающим и дает самый конкретный рецепт. Мне нравится иметь метод для решения проблем. Если честно, мне нужно найти время, чтобы по-настоящему сесть и посмотреть на это. Это больше личный проект на данный момент.

— qubyte

7

Ссылки, приведенные в ответ на квантовую механику как марковский процесс - в частности, он-лайн заметки Карлтона Кейвса « Полностью положительные карты, положительные карты и форма Линдблада » - содержат обзор физических идей и математических инструментов, которые помогают ответить на вопрос.

$M$ $M$ $M$ $M$ численно дан во всей полноте.

$M$

Если бы на подобные вопросы можно было бы эффективно ответить «вращением алгоритмического кривошипа», тогда квантовая физика была бы гораздо менее интересным предметом! :)

— Джон Сидлес
источник

Это то, на что я надеялся, но это не так, но я думаю, что это так. К сожалению, система имеет эксплуатируемую симметрию только в случае только дефазирования без депопуляции. Существует очень привлекательная форма основного уравнения Линдблада, которая собирает члены, не являющиеся формой Краусса, в неэрмитовой гамильтониан, который для случая отсутствия зависимости от времени в гамильтониане можно использовать для выбора базиса, который естественным образом выражает затухание как остальные термины Краусса. Аккуратно, но мне не поможет.

— qubyte

Одна из ссылок в заметках Пещер - это разделительные квантовые каналы Вольфа и Чирака (arXiv: math-ph / 0611057), которые я рекомендую без малейшей гарантии того, что лично уловил (многие и тонкие) квантовые информационные вопросы, которые обсуждает эта статья! :)

M

$\mathbf{M}$

M

$\mathbf{M}$

6

Я думаю, что вы можете искать это: Матрица реальной плотности . Это дает вам рецепт для преобразования между различными представлениями супероператоров (включая использование тензорного базисного произведения Паулиса). Подробный квантово-процессный томографический эксперимент с использованием результатов приведен здесь: Квантовая томография процесса квантового преобразования Фурье . В более общем смысле, Гавел также получил алгоритмы для преобразования в минимальные представления Крауса: процедуры для преобразования между Линдбладом, Краусом и матричные представления квантовых динамических полугрупп .

${\rm vec}(\rho)$ $\rho$ ${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|i\rangle\otimes|j\rangle$ ${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|j\rangle\otimes|i\rangle$ ${\rm col}(\rho)$ ${\rm \bf M}^{\rm row}{\rm vec}(\rho_0)={\rm vec}(\rho_t)$ ${\rm \bf M}^{\rm col}{\rm col}(\rho_0)={\rm col}(\rho_t)$

C = \sum_{i, j} (1 \otimes | i ⟩ ⟨ j |) M^{r o w} (| i ⟩ ⟨ j | \otimes 1),

${\rm\bf C} = \sum_{i,j} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|) {\rm \bf M}^{\rm row} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}),$

C = \sum_{i, j} (| i ⟩ ⟨ j | \otimes 1) M^{c o l} (1 \otimes | i ⟩ ⟨ j |) .

${\rm\bf C} = \sum_{i,j} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}) {\rm \bf M}^{\rm col} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|).$

{| i ⟩ ⟨ j | \otimes | k ⟩ ⟨ l |}

$\{|i\rangle\langle j|\otimes |k\rangle\langle l|\}$

— Крис Ферри
источник

Это интересно, это может быть именно то, что я ищу ...

— Qubyte

Я только что видел ваше дополнение. Спасибо, это очень полезно. Первоначально я взял вашу версию vec, но теперь я использую столбцы с накоплением. Спасибо Википедии за это. Возможно, я должен принять вашу запись для ясности.

— qubyte

4

Как отметил Пинья, работа Andersson et al. ( arXiv ) ( DOI ) был особенно полезен. В документе много деталей, и сегодня я, наконец, сел, чтобы посмотреть на него должным образом. В качестве примера проблемы я выбрал два кубита с обменным взаимодействием, чтобы проверить это, что является минимальной версией того, что я рассматриваю. Для начала главное уравнение дается

\dot{ρ} = Λ (ρ) .

$\dot\rho = \Lambda(\rho).$

$\sigma_i = \mathbf{1},\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ $1/2$ $G_i$ $G_5 = G_{xx} = (\sigma_x\otimes\sigma_x)/2$

$L$

L_{n, m} = T r [G_{n} Λ (G_{m})] .

$L_{n,m} = \mathrm{Tr}[G_n\Lambda(G_m)].$

Если мы имеем дело с главным уравнением как матрицей, действующей на векторизованный оператор плотности, как обсуждалось в этом вопросе, то это можно выразить как

L_{n, m} = v e c (G_{n})^{†} Λ v e c (G_{m}),

$L_{n,m} = \mathrm{vec}(G_n)^\dagger\,\Lambda\,\mathrm{vec}(G_m),$

что позволяет получить L в одном матричном уравнении, но это становится немного не по теме.

$L$ $F$ $\phi$

F (t) = \exp (L t) .

$F(t) = \exp(Lt).$

$F$ $S$

S_{a, b} = \sum_{n, m} F_{m, n} T r [G_{n} G_{a} G_{s} G_{b}] .

$S_{a,b} = \sum_{n,m}F_{m,n}\mathrm{Tr}[G_nG_aG_sG_b].$

Наконец, замечательная часть.

ρ_{t} = ϕ_{n, m} (ρ_{0}, t) = S_{n, m} (t) G_{n} ρ_{0} G_{m}^{†}

$\rho_t=\phi_{n,m}(\rho_0,t) = S_{n,m}(t)G_n\rho_0 G_m^\dagger$

$S$ $\Lambda$ $\phi(t)=\exp(\Lambda t)$

Это работает в независимом от времени случае для выходов и выходов, как и ожидалось. Мне нужно проверить, что это работает в случае зависимости от времени.

— qubyte
источник