Эффективно решить систему строгих линейных неравенств со всеми коэффициентами, равными 1, без использования общего решения ЛП?

Согласно названию, кроме использования универсального LP-решателя, существует ли подход для решения систем неравенств по переменным $x_i, \ldots, x_k$ где неравенства имеют вид $\sum_{i \in I} x_i < \sum_{j \in J} x_j$ ? А как насчет особого случая неравенств, которые образуют общий порядок по суммам членов силового множества $\{x_i, \ldots, x_k\}$ ?

ds.algorithms linear-algebra linear-programming

— jonderry
источник

@ Ankur: не имеет значения, целые или действительные числа. Если это строгие неравенства, вы можете округлить их до рациональных, а затем умножить их на наименее общий знаменатель, чтобы получить целочисленное решение.

— Питер Шор

Понятия не имею, что можно написать за 30 минут (на каком языке?). Если это критерий «простого», действительно ли это вообще вопрос теоретической информатики?

— Цуёси Ито

Хороший вопрос, Питер Шор. Джондерри, я забираю свое заявление обратно. Я думал, что комбинаторная задача удовлетворения этих строгих неравенств и выпуклая аналитическая задача нахождения внутренней точки конуса качественно различны. Я был неправ.

— Анкур

@Tsuyoshi: Это не должно быть тривиальным, но мне любопытно узнать, можно ли это сделать из первых принципов, не используя всю дополнительную мощь полного решателя LP, особенно для особого случая, когда у нас есть порядок всех сумм подмножеств (обратите внимание, что в этом случае полиномиальное время экспоненциально по числу переменных).

— Jonderry

Тогда я думаю, что «Может ли эта проблема быть эффективно решена без использования общих алгоритмов для линейного программирования?» это хороший способ лучше сформулировать свой вопрос.

— Цуёси Ито

Для вашего первого вопроса, без полного порядка, ответ на ваш вопрос заключается в том, что это по сути так же сложно, как линейное программирование. Вот набросок доказательства.

Во-первых, давайте установим переменную $x_1>0$ , который мы называем $\epsilon$ , Теперь давайте выберем другую переменную $x_i$ , который мы будем называть $1$ , Мы хотим убедиться, что

ϵ ≪ 1 .

$\epsilon \ll 1\, .$ Для этого рассмотрим неравенства

x_{1} < x_{2},

$x_1 < x_2,$

x_{1} + x_{2} < x_{3},

$x_1 + x_2 < x_3,$

x_{2} + x_{3} < x_{4},

$x_2+x_3 < x_4,$ и так далее. С достаточно длинной цепью, это скажет нам, что

N x_{1} < x_{i}

$Nx_1 < x_i$ , или

ϵ < 1 / N

$\epsilon < 1/N$ для некоторых очень больших

N

$N$ (

N

$N$ является числом Фибоначчи, и поэтому экспоненциально растет в

i

$i$ ).

Теперь мы можем создать линейную программу с целыми коэффициентами. Если мы хотим коэффициент 3 на $x_t$ Добавляем неравенства

x_{t} < x_{t^{'}} < x_{t^{″}} < x_{t} + ϵ

$x_t < x_{t'} < x_{t''} < x_t + \epsilon$ и пусть 3 . Если вы хотите увеличить коэффициенты, вы можете получить их, выражая коэффициенты в двоичной записи и создавая неравенства, которые гарантируют, что , и так далее. Чтобы получить правую часть, мы делаем то же самое с переменной . Этот метод позволит нам использовать линейные программы в форме ОП для приблизительной проверки выполнимости произвольных линейных программ с целочисленными коэффициентами, задача, которая по сути столь же сложна, как и линейное программирование.

x_{t} + x_{t^{'}} + x_{t^{″}}

$x_t + x_{t'} + x_{t''}$

x_{t}

$x_t$

x_{u} \approx 2 x_{t}

$x_u \approx 2x_t$

x_{v} \approx 2 x_{u}

$x_v \approx 2x_u$

x_{i} = 1

$x_i = 1$

Я не знаю, как анализировать второй вопрос, спрашивая о случае, когда есть общий порядок по всем подмножествам.

— Питер Шор
источник