Среднее искажение вложения

11

$(X, d)$ $(Y, f)$ $\mu : X \rightarrow Y$ $\mu$

ρ = max_{p, q \in X} {\frac{d (x, y)}{f (μ (x), μ (y))}, \frac{f (μ (x), μ (y))}{d (x, y)}}

$\rho = \max_{p,q \in X} \{ \frac{d(x,y)}{f(\mu(x), \mu(y))}, \frac{f(\mu(x), \mu(y))}{d(x,y)} \}$

Есть и другие показатели качества: Дхамдхер и др. Изучают «среднее» искажение:

σ = \frac{\sum d (x, y)}{\sum f (μ (x), μ (y))} .

$\sigma = \frac{\sum d(x,y)}{\sum f(\mu(x), \mu(y))}.$

Тем не менее, интересующая меня мера - это та, которая используется MDS-подобными методами, которая смотрит на среднюю аддитивную ошибку:

ε^{2} = \sum | d (x, y) - f (μ (x), μ (y)) |^{2}

$\varepsilon^2 = \sum | d(x,y) - f(\mu(x), \mu(y))|^2$

Хотя MDS-подобные методы широко изучаются за пределами сообщества теории CS, мне известна только одна статья ( Dhamdhere и др. ), В которой рассматривается оптимизация под эту меру, и это тоже для ограниченной задачи встраивания в линию ( $Y = \mathbb{R}$ ) (примечание: дипломная работа Тасоса Сидиропулоса 2005 года MS имеет хороший обзор предыдущих работ)

Есть ли какие-либо более поздние работы, о которых люди знают о строгом анализе качества под этим понятием ошибки? В то время как эти проблемы, как правило, NP-сложные, меня больше интересуют приближения любого рода.

approximation-algorithms cg.comp-geom embeddings

— Суреш Венкат
источник

3

Это хороший вопрос. Я не знаю алгоритмов аппроксимации, но известные результаты твердости для аппроксимации минимального искажения (и связанных с этим проблем, таких как метрическая маркировка) также должны показать, что трудно аппроксимировать. $\epsilon^2$

Причина в том, что они дают сокращение от NP-трудной задачи, так что в случае ДА искажение равно а в случае НЕТ искажение равно по меньшей мере для постоянной доли ребер. Следовательно, в случае ДА будет в меньше, чем в случае НЕТ. Подробнее см., Например, статью Хот-Сакета: www.cs.cmu.edu/~rsaket/pubs/approx.pdf. $O(1)$ $\Omega(k)$ $\epsilon^2$ $k$

Я не совсем уверен, какой фактор твердости следует из их статьи, но это не должно быть трудно выяснить. (Я бы предположил, что должен следовать как минимум коэффициент который вы получаете за метку метрики.) $\log^c(n)$

— Moritz
источник

это хорошее предложение. Я определенно посмотрю на метрическую работу. Известно, что даже встраивание в линию является MAX SNP-сложным, но было бы интересно (хотя и неутешительно) увидеть более сильные результаты.

— Суреш Венкат

2

Я могу что-то упустить, но почему ? Мы заинтересованы в аддитивном приближении, поэтому мы не можем масштабировать, чтобы сделать для всех , верно? $\epsilon^2 \le (\rho-1)\sum d(x,y)^2$ $f(\mu(x), \mu(y)) \ge d(x,y)$ $x,y$

Одним из преимуществ здесь является то, что мы можем делать плохо на коротких отрезках и в конечном итоге быть в порядке. Кроме того, является ли проблема легкой (даже приблизительной), если, скажем, мы хотим встроить в ? (Можем ли мы написать математическую программу, чтобы захватить вопрос?) $\ell_2$

— адитйа
источник

Хорошая точка зрения. Я изменил свой ответ.

— Мориц

это зависит от формулировки. Если вы представляете проблему как минимизацию для целевого подпространства фиксированной размерности, то ограничения ранга вызывают некоторые проблемы. Если вы используете формулировку «в стиле JL» (т.е. исправляете ошибку и находите правильную размерность), то что-то может быть выполнимо.

ϵ

$\epsilon$

— Суреш Венкат

Величина, которая может быть полезна для «соревнования»: . Рассмотрим проблему встраивания в (я предлагал ранее, но он имеет грязный sqrt). Мы должны четко стремиться получить вложения, у которых равно (в смутном смысле это означает, что мы мультипликативно отключены для большинства . Можем ли мы получить такое вложение для, скажем (степени const) расширителей? (или доказать, что это невозможно?)

S := \sum d (x, y)^{2}

$S:= \sum d(x,y)^2$

ℓ_{1}

$\ell_1$

ℓ_{2}

$\ell_2$

ϵ^{2}

$\epsilon^2$

o (S)

$o(S)$

(1 + o (1))

$(1+o(1))$

x, y

$x,y$

— aditya