Универсальные комплекты ворот для СУ (3)?

В квантовых вычислениях нас часто интересуют случаи, когда группа специальных унитарных операторов G для некоторой d-мерной системы дает либо целую группу SU (d) в точности, либо даже просто приближение, обеспечиваемое плотным покрытием SU (d).

Группа конечного порядка, такая как группа Клиффорда для d-мерной системы C (d), не даст плотного покрытия. Группа бесконечного порядка не даст плотного покрытия, если группа абелева. Тем не менее, моя грубая интуиция заключается в том, что бесконечного числа гейтов и операций по смене баз в группе Клиффорда должно быть достаточно, чтобы обеспечить плотное покрытие.

Формально мой вопрос:

У меня есть группа G, которая является подгруппой SU (d). G имеет бесконечный порядок и C (d) является подгруппой в G. Все ли такие G обеспечивают плотное покрытие SU (d).

Обратите внимание, что меня особенно интересует случай, когда d> 2.

Я полагаю, что группа Клиффорда определена здесь: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9802007

Это не полный ответ, но, возможно, он каким-то образом отвечает на вопрос.

Поскольку имеет бесконечный порядок, а - нет, то обязательно содержит не-клиффордские групповые ворота. Однако имеет в качестве подгруппы. Но для группа Клиффорда плюс любые другие ворота, не входящие в группу Клиффорда, приблизительно универсальны (см., Например, теорему 1 здесь ). Поэтому все такие обеспечивают плотное покрытие на .$G$$C(d)$$G$$G$$C(d)$$d=2$$G$$SU(2^n)$

Для случая, когда кажется, что можно доказать, что вы все еще получаете плотное покрытие по следующим линиям (используя обозначения статьи, на которую ссылается вопрос):$d>2$

1. Поскольку все вентили в являются унитарными, все их собственные значения являются корнями из единицы, которые для простоты я буду параметризировать реальными углами 0 ≤ θ i < 2 π .$G$$0 \leq \theta_i < 2\pi$
2. Поскольку имеет бесконечный порядок, либо G содержит вентили, для которых хотя бы одно значение θ k является иррациональным кратным π, либо содержит сколь угодно хорошее приближение к такому иррациональному кратному π . Обозначим один из таких ворот g .$G$$G$$\theta_k$$\pi$$\pi$$g$
3. Тогда существует такое , что g n сколь угодно близко, но не равно единице.$n$$g^n$
4. Поскольку унитарное, его можно записать как exp ( - i H ) .$g^n$$\exp(-iH)$
5. Поскольку группа Паули, как определено в Quant-Ph / 9802007, образует основу для матриц , можно написать H = ∑ d - 1 j , k = 0 α j k X j d Z k d , где α j k ∈ С и | α j k | ≤ ϵ для любого ϵ > 0 (по [3]) хотя бы с одним таким a a $d \times d$$H = \sum_{j,k = 0}^{d-1}\alpha_{jk} X_d^j Z_d^k$$\alpha_{jk} \in \mathbb{C}$$|\alpha_{jk}|\leq \epsilon$$\epsilon > 0$$\alpha_{ab}$ не равно нулю.
6. Затем мы можем выбрать элемент из группы Клиффорда, который отображает X j d Z k d в Z d при сопряжении. Таким образом, C g n C † = exp ( - i C H C † ) = exp ( - i ( α a b Z d + ∑ ( j , k ) ≠ ( a , b ) α $C$$X_d^j Z_d^k$$Z_d$, гдеα′- просто перестановкаαиαab=α ′ 01 .$C g^n C^\dagger = \exp(-iCHC^\dagger) = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$$\alpha'$$\alpha$$\alpha_{ab} = \alpha'_{01}$
7. Отметим, что удовлетворяет Z d ( X u d Z v d ) = ω u ( X u d Z v d ) Z d . Определим г ℓ = Z - ℓ д С г н C † Z ℓ г = ехр ( - я ( α в б Z д + Е ( $Z_d$$Z_d (X_d^u Z_d^v) = \omega^{u} (X_d^u Z_d^v) Z_d$.$g_\ell = Z_d^{-\ell} C g^n C^\dagger Z_d^{\ell} = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \omega^{j\ell} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$
8. По теореме Бейкера-Камбеля-Хаусдорфа, поскольку все были сделаны сколь угодно близко к тождеству, мы можем оценить произведение g ′ = g 1 × . , , × g d в первом порядке как exp ( - i ( d × ( ∑ k α 0 k Z k ) + ( ∑ d ℓ = 1 ω d ) × ∑ j ≠ 0 ∑ k $\alpha$$g' = g_1 \times ... \times g_d$. Суммирование по всем маршрутам единицы, дляd>1дает g ′ =exp(-i(d×( ∑ k ≠ b α 0 k Z k )). Это в основном последовательность развязки, которая разъединяет недиагональные элементы.$\exp(-i(d\times(\sum_{k} \alpha_{0k} Z^k) + (\sum_{\ell = 1}^d \omega^d)\times\sum_{j \neq 0}\sum_k \alpha_{jk}X_d^j Z_d^k))$$d>1$$g' = \exp(-i(d\times(\sum_{k\neq b} \alpha_{0k} Z^k))$
9. Поскольку в экспоненте остаются только диагональные матрицы, должна быть диагональной. Кроме того, из-за ограничений на α ′ он обязательно имеет собственные значения, которые не равны нулю, но пропорциональны ϵ .$g'$$\alpha'$$\epsilon$
10. Изменяя и повторяя описанный выше процесс, можно создать d линейно независимых вентилей: g ′ 1 . , , g ′ d , такое, что их произведение приводит к диагональным вентилям с иррациональными и несоразмерными фазами или к сколь угодно близкому приближению к единице.$\epsilon$$d$$g'_1 ... g'_d$
11. По ссылке, приведенной в ответе Марка Ховарда, этого вместе с группой Клиффорда должно хватить для приблизительной универсальности.

Я верю, что ответ на оригинальный вопрос, вероятно, да, но, к сожалению, я не могу сказать это окончательно. Однако я могу помочь ответить на расширенный вопрос Питера.

В математике / 0001038 Небе, Рейнсом и Слоаном они показывают, что группа Клиффорда является максимальной конечной подгруппой в U (2 ^ n). Соловей также показал это в неопубликованной работе, в которой «по существу используется классификация конечных простых групп». Небе и соавт. В статье также показано, что группа Клиффорда, являющаяся qudit, является максимальной конечной подгруппой для простого числа p, также используя классификацию конечных групп. Это означает, что группа Клиффорда плюс любые ворота - это бесконечная группа, что делает избыточным одно из предположений исходного вопроса.

Теперь и Рейнс, и Соловей сказали мне, что следующий шаг, показывающий, что бесконечная группа, содержащая группу Клиффорда, универсальна, является относительно простым. Однако я не знаю, как на самом деле работает этот шаг. И что более важно для исходного вопроса, я не знаю, рассматривали ли они только случай кубита или также случай квитита.

На самом деле, я могу добавить, что я тоже не понимаю доказательств Небе, Дождей и Слоана, но хотел бы.

Мне не ясно, спрашиваете ли вы о том, что SU (3) или SU (3 n ) действуют на тензорное произведение квиттов. Я предполагаю, что вы спрашиваете о SU (3). Мне не ясно (несмотря на то, что я сказал в предыдущей версии моего ответа), что утверждение для SU (3) подразумевает утверждение для SU (3 n ).$^{n}$$^n$

Пока набор вентилей не лежит в подгруппе SU (3), он будет создавать плотное покрытие SU (3). Поэтому вам необходимо проверить, содержит ли любая из бесконечных подгрупп в SU (3) группу Клиффорда. Я уверен, что нет, но не могу сказать наверняка. Вот математический вопрос о переполнении, задающий все подгруппы Ли группы SU (3).

Я думал, что я должен обновить эту тему, прежде чем сайт навсегда заморожен.

Ответ Даниэля на правильных линиях. Этот «следующий шаг», который он упоминает, появляется в более поздней книге Небе, Рейнса и Слоана « Самодвойственные коды и теория инвариантов ».

Поэтому ответ на этот вопрос «Да» - и это следует непосредственно из следствия 6.8.2 в книге Небе, Рейнса и Слоана.

Я благодарен Вадиму Ключникову, который указал мне на это, когда я посещал Ватерлоо.

Я думаю, что следующая статья может содержать соответствующие конструкции для доказательства универсальности Qudit

http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/39/11/010

В частности, комментарий в конце раздела говорит, что управляемая фаза C Z , преобразование Фурье F и диагональный вентиль D с иррациональной и несоразмерной фазами дают приблизительную универсальность. (Это достаточное условие для D, но я почти уверен, что это необязательное условие.)$4$$CZ$$F$$D$$D$

Если ваш имеет правильную форму (и диагональные ворота кажутся естественным выбором), то результат применяется$G$

Альтернативным подходом было бы создание вспомогательных состояний, необходимых для реализации Quitit Toffoli, или непосредственное использование вместе с Cliffords для реализации Toffoli. Трудно сказать , возможно ли это , не зная больше о G .$G$$G$