Что подразумевается под аргументами эвристической статистической физики?

Я слышал, что в статистической физике есть эвристические аргументы, которые дают результаты в теории вероятностей, для которых строгие доказательства либо неизвестны, либо очень трудно получить. Что является простым игрушечным примером такого явления?

Было бы хорошо, если бы ответ предполагал незначительный опыт в статистической физике и мог объяснить, что это за загадочная эвристика и как они могут быть неофициально обоснованы. Также, возможно, кто-то может указать общую картину того, сколько из этих эвристик может быть строго обосновано и как программа Лоулера, Шрамма и Вернера вписывается в это.

Второй абзац ответа RJK заслуживает более подробной информации.

Пусть - формула в конъюнктивной нормальной форме, с m предложениями, n переменными и не более чем k переменными в предложении. Предположим, мы хотим определить, имеет ли ϕ удовлетворительное присваивание. Формула ϕ является примером решения проблемы k-SAT.$\phi$$\phi$$\phi$

Когда есть несколько предложений (так что m довольно мало по сравнению с n), то почти всегда можно найти решение. Простой алгоритм найдет решение примерно за линейное время по размеру формулы.

Когда есть много предложений (так что m довольно велико по сравнению с n), то почти всегда бывает, что решения не существует. Это можно показать с помощью счетного аргумента. Тем не менее, во время поиска почти всегда можно обрезать большие части пространства поиска с помощью методов согласованности, потому что многие пункты взаимодействуют так широко. Установление неудовлетворенности обычно может быть сделано эффективно.

• В. Чватал и Б. Рид. Мик получает немного (шансы на его стороне) , FOCS 1992. doi: 10.1109 / SFCS.1992.267789

В 1986 году Фу и Андерсон предположили связь между задачами оптимизации и статистической физикой на основе систем спинового стекла. Хотя они использовали такие предложения, как

Интуитивно понятно, что система должна быть достаточно большой, но ее сложно назвать более конкретной.

они действительно дают конкретные прогнозы.

• У Фу и П.В. Андерсона. Применение статистической механики к NP-полным задачам в комбинаторной оптимизации , J. Phys. A. 19 1605, 1986. doi: 10.1088 / 0305-4470 / 19/9/033

$\alpha = m/n$

• Реми Монассон, Риккардо Зекчина, Скотт Киркпатрик, Барт Сельман, Лидрор Троянский. Определение вычислительной сложности по характеристическим «фазовым переходам» , Nature 400 133–137, 1999. ( doi: 10.1038 / 22055 , бесплатная версия )

$\alpha_1 < \alpha_2$$\alpha$$\alpha_1$$\alpha$$\alpha_2$$\phi$

• $k$

Димитрис Ахлиоптас работал над многими из оставшихся проблем и показал, что приведенный выше аргумент справедлив и для проблем удовлетворения ограничений. Они могут использовать более двух значений для каждой переменной. В одной ключевой статье строго показано, почему алгоритм распространения съемки работает так хорошо для решения случайных случаев k-SAT.

• А. Браунштейн, М. Мезард, Р. Зекчина, Распространение результатов опроса: алгоритм для выполнимости , случайные структуры и алгоритмы 27 201–226, 2005. doi: 10.1002 / rsa.20057
• D. Achlioptas, F. Ricci-Tersenghi, О геометрии пространства решений случайных задач удовлетворения ограничений , STOC 2006, 130–139. ( препринт )

Существует очень недавнее исследование , проведенное Лоулера на SLES . Вам нужно знать немного сложного анализа.

Хотя это и не имеет прямого отношения к вашему вопросу, возможно, вы могли бы проверить несколько работ Ахлиопты, которые также подпадают под «формализацию эвристики физиков», хотя и с точки зрения теоретического компьютерного ученого. Или, может быть, глубже в перспективе statphys вы можете просмотреть некоторые работы Зекхина .

Я думаю, что стоит добавить, что то, что вы назвали «результатами» физиков - большинство из которых следует назвать гипотезами, - в этой очень широкой категории задач полагается почти столько же (или даже больше) на численные эксперименты, как ( чем) на эвристических аргументах.

(расширение моего комментария)

$NP$

Обзор " эвристики от природы " можно найти здесь (около 95)

Другие эвристики включают обобщенные лангранжианы (известные как алгоритмы первичного-двойственного / ожидания-максимизации)

Однако они не исчерпывают всей « эвристики от природы », так как фактически начиная с 2003 года новые эвристики, основанные на электромаргнетизме , используются для решения как непрерывных, так и дискретных / комбинаторных методов оптимизации (таких как многомерный рюкзак или TSP , около 2012 г.)