Ищите хорошую проблему внутри СЦ, но не на первых двух уровнях

Сложность зоопарк не имеет много о $\mathsf{SC}$ . Я ищу хорошую проблему, которая находится на более высоких уровнях иерархии, то есть проблему в но о которой неизвестно в $^\dagger$ $\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^{O(1)} n)$ . $\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^2n)$

В качестве побочного вопроса, есть ли какая-либо известная причина, почему найти примеры хороших проблем на более высоких уровнях иерархий ( , , , и т. Д.) Сложнее, чем на первых уровнях? $\mathsf{AC}$ $\mathsf{NC}$ $\mathsf{SC}$ $\mathsf{PH}$

$\dagger$ хотя хороший термин не является математическим, я думаю, что мы интуитивно понимаем, что он означает, например, принятие проблемы для NTM - это искусственная проблема, которая не интересует людей, если она не завершена для , в то время как проблема раскраски графов была интересна и раньше. известно, что он находится в / завершен для и по-прежнему интересен, кроме класса сложности, к которому он принадлежит. $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

cc.complexity-theory complexity-classes

— Кава
источник

(1) «Принятие проблемы для НТМ не является искусственной проблемой, так что люди не заинтересованы в ней, за исключением того, что она завершена для НП»: кажется, у вас есть чрезмерное «не» здесь.

— Цуёси Ито

(2) «В качестве дополнительного вопроса, есть ли какая-либо известная причина, почему найти примеры хороших проблем на более высоких уровнях иерархий (AC, NC, SC, PH и т. Д.) Сложнее, чем на первых уровнях?» более глубокая причина, чем «Более низкие уровни проще, и поэтому в них много хороших примеров»?

— Цуёси Ито

@ Tsuyoshi, спасибо, я убрал лишнее. О 2, да, мне нужна более глубокая причина для хороших проблем, попадающих на низкие уровни иерархий. Я не вижу большой разницы в определении между

и говорят, что

D T i m e S p a c e (n^{O (1)}, \lg^{2} n)

$\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^2 n)$

D T i m e S p a c e (n^{O (1)}, \lg^{4} n)

$\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^4 n)$

— Каве

Конечно, определение то же самое. Разница в том, что log ^ 2 проще, чем log ^ 4. Тот же аргумент применим к вопросу о том, почему существует намного больше алгоритмов, которые работают во время O (n ^ 2), чем те, которые работают во время O (n ^ 4).

— Цуёси Ито

@ Tsuyoshi, я не уверен, что ты имеешь в виду, когда

проще, чем

. Вопрос также относится к

\lg^{4}

$\lg^4$

\lg^{2}

$\lg^2$

P

$\mathsf{P}$

— Каве

У меня нет предложения для естественной проблемы в $\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)}, \log^4 n)$ , но у меня есть предложение для вашего дополнительного вопроса, почему найти такой проблема кажется сложной. Я думаю, что это как-то связано с народной идеей, согласно которой люди могут действительно постигать (или, может быть, заинтересованы только в них? Или в обоих?) Математику, в которой есть несколько изменений квантификатора. Например, определение лимита составляет два квантификатора (для всех эпсилонов существует дельта ...); определение " $L \in \mathsf{NP}$ «это два квантификатора (существует машина такая, что для всех входов ...), а утверждение« »имеет глубину три квантификатора. $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Что касается , это в некоторой степени подтверждается тем фактом, что существует множество естественных задач, которые являются полными, много естественных проблем, которые являются -полными, и только несколько известных естественных проблем, которые являются полный (см. Сборник Шефера и Умана ). Наиболее естественные проблемы, которые, как известно, являются полными для более высоких уровней возникают из самой логики, что не так удивительно, поскольку в рамках данной логики часто существует понятие « $\mathsf{PH}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{\Sigma_2 P}$ $\mathsf{\Sigma_3 P}$ $\mathsf{PH}$ $k$ -много чередования квантификаторов "или, по крайней мере, каким-то естественным способом его моделирования. Возможно, они попадают в ту же категорию, что и" принятие проблем для NTM ", которые вы объявили" недостаточно хорошими "для этого вопроса.

Также стоит упомянуть, что то же самое происходит в мире вычислимости, что, возможно, говорит о том, что это связано с нашим пониманием чередующихся квантификаторов и меньше со сложностью как таковой. Много естественных проблем , как известно, -полным (эквивалент проблемы остановки), и многие природные проблемы , как известно, являются полными для второго и третьего уровней арифметической иерархии. Но по мере того, как вы переходите на более высокие уровни арифметической иерархии, для этих уровней становится все меньше и меньше естественных проблем. Я не уверен, что знаю о естественной задаче, полной для , и я никогда не слышал о естественной задаче, полной для $\mathsf{\Sigma^0_1}$ $\mathsf{\Sigma^0_4}$ $\mathsf{\Sigma^0_5}$ (хотя, может быть, есть).

Что касается полилогарифмических границ пространства, я думаю, что аналогичные рассуждения применимы, но тем более. Так как , даже проблемы , которые находятся в «первых нескольких» уровней « иерархии» все в самом деле в (Коллапсы иерархии ), который содержится в лог-квадрате пространства. $\mathsf{NL} = \mathsf{coNL} \subseteq \mathsf{DSPACE}(\log^2 n)$ $\mathsf{NL}$ $\mathsf{NL}$

— Джошуа Грохов
источник

Это очень интересный ответ.

— Суреш Венкат

Спасибо Джошуа, это действительно хорошее наблюдение. Это как бы предполагает эпистемологическую перспективу: то, что выглядит естественным для человека, имеет ограниченную сложность количественного определения.

— Каве