Сложность решения, является ли матрица полностью регулярной

Матрица называется вполне регулярной, если все ее квадратные подматрицы имеют полный ранг. Такие матрицы использовались для построения суперконцентраторов. В чем сложность решения, является ли данная матрица полностью регулярной по рациональным числам? Над конечными полями?

В более общем смысле , назовем матрицу полностью -регулярной, если все ее квадратные подматрицы размером не более имеют полный ранг. Учитывая матрицу и параметр , какова сложность решения, является ли матрица полностью -регулярной? $k$ $k$ $k$ $k$

— Маркус Блезер
источник

Элементарный вопрос: что вы имеете в виду, когда говорите обычную матрицу? Благодарность!

— Генри Юн

Вы имеете в виду, что каждая подматрица неособа? Я помню, что был похожий вопрос, который я не могу найти прямо сейчас

— Сашо Николов

Действительно, есть три различных значения регулярного: en.wikipedia.org/wiki/Regular_matrix

— Suresh Venkat

ах, нашел связанный вопрос: cstheory.stackexchange.com/questions/10962/… . Ваш вопрос более точно соответствует комментарию, который я сделал там: это более простой вариант (широко открытого AFAIK) вопроса проверки стороны с ограниченной изометрией.

— Сашо Николов

В случае конечных полей проверка, является ли матрица регулярной, эквивалентна проверке, имеет ли матрица генератора кода минимальное расстояние (т. Е. Является ли она MDS). Даже постоянные аппроксимации фактора для нахождения минимального кодового расстояния трудны. Проверьте этот документ ee.ucr.edu/~dumer/ieee49-1-03-np.pdf и ссылки внутри.

n \times k

$n\times k$

k

$k$

n \times k

$n\times k$

n - k + 1

$n-k+1$

— Димитрис

Ответы:

Статья « Матрицы Вандермонда, NP-полнота и трансверсальные подпространства» [ps] Александра Чистова, Эрве Фурнье, Леонида Гурвица и Паскаля Койрана может иметь отношение к вашему вопросу (хотя она не отвечает на него).

Они доказывают -полноту следующей задачи: учитывая матрицу над ( ), решите, существует ли подматрица , определитель которой обращается в нуль. $\mathsf{NP}$ $n\times m$ $\mathbb Z$ $n\le m$ $n\times n$

— Bruno
источник

Спасибо, Бруно! Разве мы не можем уменьшить проблему вашего ответа на мою проблему путем рандомизированного сокращения (по рациональным значениям)? Просто добавьте

случайных строк. Если новая матрица не является полностью регулярной, то она содержит особую

-подматрицу в первых

строках с высокой вероятностью. Ах нет Подматрица может быть меньше. Но, может быть, можно сделать эту работу ...

m - n

$m-n$

n \times n

$n \times n$

n

$n$

— Маркус Блезер

Да, ваша проблема, по существу , эквивалентно одному (общее положение) в Александровском Чистова, Эрве Фурнье, Леонид Гурвиц и Паскаль Koiran бумаги .

Рассмотрим матрицу , . Не ограничивая общности, предположим, что и первые столбцов независимы: , где - неособая матрица . Теперь содержит особую подматрицу тогда и только тогда, когда $n \times m$ $A$ $n < m$ $\text{rank}(A) = n$ $n$ $A$ $A =[B\ |\ D]$ $B$ $n \times n$ $A$ $n \times n$ $B^{-1}D$ не совсем регулярно.

— Леонид Гурвиц
источник

Есть еще одна проблема NP-Complete в том же духе: для квадратной матрицы решить, являются ли все ее главные подматрицы (т.е. строки и столбцы из одного набора) неособыми. Еще один любопытный факт: сумма квадратов определителей всех квадратных подматриц проста (просто Det (I + AA ^ {T})), но сумма абсолютных значений равна # P-Complete.

— Леонид Гурвиц
источник