Подсчет количества толстых областей, которые перекрывают квадрат

Позволять $S$ быть единым квадратом. Как функция $\beta$ какое максимальное количество $\beta$ -жирных попарно непересекающихся областей диаметром не менее 1, которые могут пересекаться $S$ ?

Ниже мы приводим рисунок, показывающий, что для $\beta=1$ Максимальное количество равно 7. Как насчет для $\beta = 2, 3, \ldots, n$ ?

Напомним определение жира для областей на плоскости. Учитывая регион $R$ арт круг $C_1$ радиуса $r_1$ быть самым большим кругом, содержащимся в $R$ , и пусть круг $C_2$ радиуса $r_2$ быть наименьшим кругом, который содержит $R$ , Упитанности из $R$ дан кем-то $\frac{r_2}{r_1}$ и мы говорим, что $R$ является $\beta$ жир, для $\beta = \frac{r_2}{r_1}$ ,

Например, если $r_2 = r_1=\frac{1}{2}$ тогда области представляют собой единичные окружности, и имеется 7 окружностей диаметром не менее 1, которые могут перекрываться $S$ не перекрывая друг друга. На рисунке ниже мы изобразили квадрат единицы и 7 кругов единицы, которые перекрывают квадрат.

перекрывающиеся круги

cg.comp-geom

— Джо
источник

Условие "круги по крайней мере так же велико, как

S

$S$ "сбивает с толку, и если вы говорите об областях, круг радиуса

1

$1$ не такой большой, как

S

$S$ , Кроме того, для

r_{2} = r_{1} = 1

$r_2 = r_1 = 1$ случай, вы можете положить

7

$7$ круги (один в середине

S

$S$ ) я тупо не прав?

— Исинь Цао

Ваше определение «толстый» является одним из стандартных определений «толстый». Я предполагаю, что вы имеете в виду «максимальное количество толстых непересекающихся областей диаметром не менее 1, которые могут пересекаться с S», поскольку в противном случае нет верхней границы. Крошечные круги имеют толщину 1.

— Джеффс

@ Jɛ ﬀ Да, именно это я и хочу сказать. Я отредактирую вопрос, чтобы уточнить.

— Джо

@ YixinCao Я привел цифру, которая, надеюсь, прояснит ситуацию.

— Джо

@Joe Как показывает моя картинка, возможно семь кругов. Дело в том, что две окружности (почти) касаются двух противоположных точек. Мой рисунок всегда плох, но я надеюсь, что график полезен.

— Исинь Цао

Я думаю, что максимальное количество попарно непересекающихся жировых областей, которые перекрывают квадрат, должно быть тесно связано с упаковкой кругов.

Наихудшая форма для региона - это что-то вроде мяча и цепочки. Ниже я изобразил такой регион для $\beta=2$ с диаметром 1

мяч цепь ,

и они могут упаковать на расстоянии 1 от квадрата единицы, очевидно, гораздо плотнее, чем я их изобразил.

шариковая цепь упаковка

Обратите внимание, что фактическая область шарика и цепи определяется зеленой областью, а внешний круг является всего лишь ориентиром, чтобы изобразить тот факт, что эти области имеют жирность 2. Фактически, часть цепи области может «сгибаться», чтобы позволить больше регионов для упаковки.

введите описание изображения здесь

— Джо
источник