Многоугольник в задаче обобщения многоугольника

Я хотел бы извиниться перед всеми постами ниже. Выбрал не тот форум, чтобы опубликовать это в оригинале. Однако вместо того, чтобы сделать это пустой тратой, я переработал вопрос, чтобы он стал настоящей проблемой «теоретической информатики».

Задача: Создать алгоритм, который принимает набор из n упорядоченных точек в 2D-плоскости, которые образуют контур простого многоугольника A, который может быть или не быть вогнутым, и создает новый многоугольник B с m точками, так что:

все точки в A содержатся в B
3 <= m <n
B - многоугольник в наборе всех B с наименьшей площадью
B должен быть простым многоугольником (то есть без самопересечений).
Вход в алгоритм - полигон A и «m».
Совпадение сегментов в B с сегментами в A допускается.

Некоторые примеры входных и ожидаемых результатов:

Если A является квадратом, а m равно 3, то B будет треугольником с наименьшей площадью поверхности, содержащей A.
Если A является шестиугольником, а m равно 4, то B будет четырехугольником с наименьшей площадью поверхности, которая содержит A.

Удачи всем, кто решает эту проблему. Я могу обещать вам, что это будет очень сложно, особенно сейчас, когда решение должно быть оптимальным.

ds.algorithms cg.comp-geom polygon

— Тирлан
источник

@Joe: Не верно: если A - квадрат, то Тириан просит треугольник минимальной площади, содержащий A. С другой стороны, если A - треугольник (

n = 3

$n=3$ ) тогда действительно нет действительного решения.

— Джефф

Думаю, добавлю 17 к моему первому комментарию. Почему 20?

— Джефф

Не является ли БПФ низким порогом для «сложного»?

— Сашо Николов

Я не думаю, что это совершенно верно, что проблема вообще не изменится, если вы, скажем, установите m = 3. Проблема заключается в том, что вам может потребоваться экспонента по времени в m, и это нормально, если m фиксировано для некоторого числа, но это не хорошо, если m является частью ввода.

— Суреш Венкат

«все знают, в чем проблема» - это не правда. Мы спрашиваем, потому что выбор, не указанный, имеет значение.

— Суреш Венкат

Ответы:

Я не знаю, как выглядят ваши полигоны, но, возможно, достаточно упрощенной версии алгоритма Рамера-Дугласа-Пекера :

для каждой выпуклой части рассчитайте площадь $A_j$ из треугольников $P_i P_{i+1} P_{i+2}$ состоит из трех последовательных точек;
для каждой вогнутой части рассчитать площадь $B_k$ из двух треугольников $P_i P'_i P_{i+1}$ а также $P_{i+1} P'_{i+2} P_{i+2}$ образованный расширением двух точек $P_i, P_{i+2}$ и средняя точка $P_{i+1}$
рассчитать $min\{A_j,B_k\}$ и удалить соответствующую точку (и точки смещения, если операция выполняется на вогнутой части);
цикл до $n-m$ точки были удалены.

введите описание изображения здесь
Граница многоугольника ( $A_j$ зеленые треугольники, $B_k$ красные треугольники). Справа граница после устранения двух точек.

Для более сложных алгоритмов вы можете искать « методы обобщения полигонов », хотя ваше первое условие (точки в A содержатся в B) подразумевает некоторые дополнительные операции масштабирования.

— Марцио де Биаси
источник

@Suresh: я почти уверен, что текущие 4 голоса за прозрачность, а не за (почти тривиальный) алгоритм :)

— Marzio De Biasi

Это страдает от той же проблемы, что и алгоритмы Рамера-Дугласа-Пекера: выходной результат не обязательно будет простым многоугольником!

— Джефф

@Jeffe: вы правы, но (далеко не оптимально, если многоугольник сложен) можно избежать упрощений, которые приводят к конфликту . В конце, если есть другие точки, которые необходимо удалить, но нельзя избежать непростого многоугольника, используйте метод разрешения конфликтов (например, рассчитайте точки пересечения и полностью отбросьте «дыры»). Однако я хотел бы увидеть реальный пример из ОП.

— Марцио Де Биаси,

@MarzioDeBiasi That might work. But it might not. I think it's possible for every simplification you describe to cause a self-intersection. And "throwing out loops" can makes things worse, not better. This is probably a fine solution in practice, but remember where we are!

— Jeffε

Спасибо, Марцио, теперь я, по крайней мере, знаю, как называются такие проблемы! К сожалению, решение, которое вы дали, это то, что (3) и (4) входят в мои предложенные решения, и (4) имеет проблему с этим. Элипсы, которые очень растянуты и, следовательно, имеют острые кончики с углами примерно 30 градусов и менее, легко нарушают требование (1).

— Тирлан

Я давно написал статью, в которой подробно описан алгоритм линейного времени для нахождения наименьшего треугольника площади, включающего множество точек (или многоугольник):

J. O'Rourke, Alok Aggarwal, Sanjeev Maddila, Michael Baldwin, "Оптимальный алгоритм для нахождения минимальных вмещающих треугольников", J. Algorithms , 1986, 7 : 258--269. Link .

За нашей работой следовал общий алгоритм:

«Минимальная площадь, описывающая многоугольники», Alok Aggarwal, JS Chang и Chee K. Yap, The Visual Computer , том 1, номер 2 (1985), 112-117. Link .

Вы можете использовать Google Scholar для отслеживания тех более поздних статей, в которых приводятся улучшения и сопутствующая работа.

— Джозеф О'Рурк
источник