VC-измерение сфер в 3-х измерениях

Я ищу VC-размерность следующей заданной системы.

вселенная $U=\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}$ такой, что $U\subseteq \mathbb{R}^3$, В заданной системе$\mathcal{R}$ каждый набор $S\in \mathcal{R}$ соответствует сфере в $\mathbb{R}^3$ такой, что множество $S$ содержит элемент в $U$ если и только если соответствующая сфера содержит ее в $\mathbb{R}^3$,

Детали, которые я уже знаю.

1. VC-размерность по крайней мере 4. Это потому, что если $p_1,p_2,p_3,p_4$ 4 угла тетраэдра, то он может быть разрушен $\mathcal{R}$

2. VC-размерность - максимум 5. Это потому, что заданная система может быть встроена в $\mathcal{R}^4$ с шарами в $\mathcal{R}^3$ соответствующие гиперплоскости в $\mathcal{R}^4$, Известно, что гиперплоскости в$\mathcal{R}^d$ иметь VC-размерность $d+1$,

Вот простой аргумент:

Предположим, что есть набор $U$5 очков, которые могут быть разбиты шариками. Так что для любого набора$S \subseteq U$существует шар $B$ улица $B \cap U = S$ и мяч $B'$ улица $B' \cap U = U \setminus S$, Следовательно,$B \cap B'$ не содержит точек $U$, Если$B \cap B' = \emptyset$, $B$ а также $B'$может быть разделен плоскостью. В противном случае пересечение поверхностей$B$ а также $B'$это круг. Плоскость, в которой лежит круг, отделяется$S$ от $U \setminus S$, Следовательно,$U$ могут быть разбиты полупространства, противоречие.

Тот же аргумент в более высокой размерности показывает, что VC-размерность шаров равна VC-размерности полупространств.

Мое решение неверно. Смотрите другой ответ ...