Разделяет ли пара непересекающихся гомотопических циклов в дуале граф?

Позволять $G$ быть графом, вложенным в ориентируемую компактную поверхность рода $g$так что вложение является клеточным. Рассмотрим двойственный график$G^*$, Позволять$C_1$ а также $C_2$ быть непересекающимися циклами в $G^*$ гомотопны друг другу и позволяют $E_1$ а также $E_2$ быть их соответствующими наборами ребер в $G$соответственно. Является$G \setminus (E_1 \cup E_2)$ отключенный граф?

Да. Дай мне написать$\Sigma$ для поверхности, на которой $G$ а также $G^*$ встроены

Потому что циклы $C_1$ а также $C_2$ гомотопны, они тоже в том же $\mathbb{Z}_2$класс гомологии. Итак, по определению, симметричная разница$C_1\oplus C_2$ является границей объединения некоторого подмножества граней $G^*$; называть это союзом лиц$U$, (На самом деле, либо$U$ или его дополнение $\Sigma\setminus U$ должно быть кольцо, но это не важно.)

Потому что $C_1$ а также $C_2$ не пересекаются, симметричная разница $C_1\oplus C_2$ равен союзу $C_1\cup C_2$, В частности, у нас есть$C_1\oplus C_2\ne \varnothing$, что подразумевает, что оба $U$ и его дополнение $\Sigma\setminus U$не пустые. Другими словами, недра$\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$ отключен

Любой путь в $G$ можно рассматривать как путь в $\Sigma$ что избегает вершин $G^*$и наоборот (с точностью до гомотопии). Таким образом, (граф) компоненты$G\setminus (E_1\cup E_2)$ биективно соответствуют (поверхностным) компонентам $\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$, Мы заключаем, что$G\setminus (E_1\cup E_2)$ отключен

Предположение, что $\Sigma$ ориентируемый никогда не используется.