Усиления субмодулярности

Набор-функция $f$ монотонно субмодулярная , если для всех $A,B$ ,

$$f(A) + f(B) \geq f(A \cup B) + f(A \cap B).$$

Более сильным свойством является

$$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A\cup B\cup C) \geq \\f(A\cup B) + f(B\cup C) + f(A\cup C) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$$ Принимая , это свойство подразумевает монотонную субмодулярность.$C = A\cup B$

Это свойство известно?

Фон

Это свойство возникло при попытке охарактеризовать функции покрытия. Учитывая некоторые взвешенные вселенную (все веса неотрицательны) и семейный X подмножеств U , функция охвата F ( S ) определяются для S ⊆ X в общей массе элементов , охватываемых множества в S . Функция f всегда монотонна и субмодулярна. Обратное неверно.$U$$X$$U$$f(S)$$S \subseteq X$$S$$f$

Из рассматриваемого свойства следует, что является функцией покрытия в случае | X | = 3 . Подобные, более сложные свойства работы для увеличения X . Все эти свойства удовлетворяются функциями покрытия, так что это полная характеристика.$f$$|X| = 3$$X$

Существует полная характеристика функций покрытия в терминах таких уравнений. Для | X |> 3 больше уравнений, чем указано. Каждое из этих уравнений можно рассматривать как ограничение на дискретную производную .$k^{th}$

Монотонная функция увеличения тогда и только тогда, когда дискретная производная первого порядка равна + ve. т.е. , когда ⊆ B .$f(B)-f(A)\ge 0$$A\subseteq B$

Субмодулярность тогда и только тогда, когда дискретная производная второго порядка равна -ve. т.е. .$(f(A\cup B)-f(B))-(f(A)-f(A\cap B))\le 0$

Аналогично, если у вас есть условия на следующие производных, вы получаете функции покрытия. (Я думаю, что знаки должны быть + ve для производной четного порядка и -ve для производной нечетного порядка)$n$

Нечто подобное уже было известно по вероятности. Функция покрытия также может рассматриваться как мера вероятности (вплоть до постоянной масштабирования). Единственное упоминание, которое мне удалось найти, - это страница 439 из книги Феллера о вероятности.

Дискретные производные высшего порядка функций множества исследуются в Субмодулярности, супермодульности и монотонности высшего порядка псевдобулевых функций . Согласно им, строгое условие дискретной производной третьего порядка

$$\begin{multline*} f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C) + f((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) \geq \\ f(A \cap (B \cup C)) + f(B \cap (A \cup C)) + f(C \cap (A \cup B)) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$$ The "aggregate" condition is mentioned in the paper "A characterization of a cone of pseudo-boolean functions via supermodularity-type inequalities" by Cramma, Hammer and Holtzman (inequality (4)), which is part of the rare collection "Quantitative Methoden in den Wirtschaftswissenschaften". This condition should be the same as mine.

Edit: The actual condition that Cramma, Hammer and Holtzman give is

$$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A \cap B \cap C) \geq \\ f(A \cup B \cup C) + f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C). \end{multline*}$$ If you put $C = \varnothing$, you get submodularity.