Сложность «граф продукт»

Этот вопрос возникает из чистого любопытства (он возник, когда я думал о том, чтобы отменить перетасовку строки , но я не уверен, действительно ли это связано), поэтому я надеюсь, что это уместно.

Существуют различные графические продукты, и я заинтересован в любом из них здесь. В чем сложность определения того, является ли граф изоморфным нетривиальному произведению? (Конечно, для декартового произведения где - граф с одной вершиной.)K = K ◻ $K$$K = K \square 1$$1$

Я посмотрел на страницах «Фактор графа» и «График факторизации» в Википедии, но ни один из них, похоже, не связан. Эта проблема известна под другим именем?

Проверьте бумагу Уилфрида, Имрича; Изток, Петерин, Распознавание декартовых произведений в линейном времени . Discrete Math., 307, 3-5, Page (s): 472--483, 2007. Я думаю, что у Имрича есть больше бумаг для других продуктов.

Несколько графовых произведений могут быть распознаны за полиномиальное время. Как обычно, декартово произведение является самым простым, и декартово число также является основой для алгоритмов для нескольких других произведений. Распознавание лексикографического произведения (композиции) эквивалентно изоморфизму графа.

Более детально:

Пусть $\Gamma$ - класс конечных простых графов, а $\Gamma_0$ - класс конечных простых графов, которые могут иметь самоконтроли. (Понятно $\Gamma \subset \Gamma_0$ .)

Решение о том, имеет ли связанный входной граф факторы в может быть за полиномиальное время для декартовых и сильных произведений, а также для прямого произведения, когда не двудольный. Решение о том, имеет ли факторы в принимается за полиномиальное время для декартового произведения, но вряд ли будет за полиномиальное время для лексикографического произведения. Я не знаю статус решения, если имеет факторы в для прямых и сильных продуктов.Γ 0 G G Γ G $G$$\Gamma_0$$G$$G$$\Gamma$$G$$\Gamma$

Соответствующие результаты от Имрича и Клавжара:

Теорема 4.10. Для связного графа на вершинах и ребрах можно найти простую факторизацию по декартовому произведению за времени, используя пространство .н м О ( м н ) О ( м $G$$n$$m$$O(mn)$$O(m)$

Теорема 5.43. Первичное множитель разложения связных недвойственных графов в относительно прямого произведения и связных простых графов относительно сильного произведения может быть определен за полиномиальное время.$\Gamma_0$

Затем результат для декартового произведения улучшается до времени и пространства в главе 7. Как указывалось в других ответах, с тех пор оно было улучшено до линейного времени.O ( м $O(m\log n)$$O(m)$

Для лексикографического продукта:

Теорема 6.20. Решение проблемы, является ли данный связный граф простым по отношению к лексикографическому произведению, по меньшей мере так же сложно, как и проблема изоморфизма графа.

Теорема 6.21. Решение задачи о том, является ли данный связный граф простым по отношению к лексикографическому произведению, не сложнее, чем решение полиномиального числа (по ) задач изоморфизма графов, размер каждой из которых также является полиномом по .$n$$n$

Поэтому решение о том, является ли граф простым по отношению к лексикографическому произведению, эквивалентно изоморфизму ГРАФА в отношении сокращений по Тьюрингу.

Случай с прямым и сильным произведением, имеющим факторы без самопетлей, по-видимому, отсутствует в ссылках, на которые я смотрел. Я был бы признателен за любые ссылки на статьи, которые обсуждают это дело, или подсказку, почему это неинтересно.

• Вильфрид Имрич и Сэнди Клавжар. Графики продуктов: структура и признание . Wiley, 2000. ISBN 0-471-37039-8.

Существует линейно-временной алгоритм определения простых множителей связных графов относительно декартового произведения. Смотрите статью Имрича и Петерина.