Минимальное хордовое завершение нечетного графа: сложно ли NP?

Следующая интересная проблема возникла в моем исследовании недавно:

МИГ: График . $G(V, E)$

РЕШЕНИЕ: завершение неординарного нечетного цикла, определяемое как надмножество множества ребер, так что завершенный граф обладает свойством того, что каждое ребро в содержится в нечетком нечетном цикле. $E'$ $E$ $G'(V, E')$ $G'$

ИЗМЕРЕНИЕ: Размер завершения, т., $|E' - E|$

До сих пор нам удавалось доказать, что модифицированная версия этой задачи является NP-полной, где вместо того, чтобы требовать, чтобы «каждое ребро в содержалось в нечетном нечетном цикле », нам требуется более сильное свойство, что« каждое ребро содержится в в треугольнике (цикл длины 3) ". (Обратите внимание, что это не эквивалентно проблеме МИНИМАЛЬНОГО ХОРДАЛЬНОГО ГРАФА .) $G'$

Первое, как легко увидеть, является обобщением второго, но до сих пор все мои попытки доказать это потерпели неудачу. Может ли кто-нибудь придумать указатель / ссылку / и т.д.?

— Габор Ретвари
источник

проблема, кажется, тесно связана с совершенными графами, которые являются совершенными, если существует нечетная (анти) дыра (неаккордовый нечетный цикл длиной не менее 5) [подробнее о Википедии]. поэтому предложите, может быть, вы попытаетесь переформулировать вопрос с точки зрения вопроса о совершенных графиках.

— vzn

@vzn: Я не уверен, что эта сильная теорема могла бы здесь помочь.

— Домоторп

Можем ли мы решить в P, содержится ли каждое ребро группы G в нечетном нечетном цикле? Я предполагаю, что это возможно, но я не вижу как.

— Domotorp

Ну, у нас сейчас две проблемы. Легко, у нас было бы решение в P, если бы мы могли решить для каждого ребра, находится ли он в нечетном нечетном цикле. Я нашел ссылку , в которой говорилось, что вопросы «Содержит ли граф индуцированный нечетный цикл длиной более трех, проходящий через заданную вершину?» и "Содержит ли граф индуцированный нечетный путь между двумя заданными вершинами?" являются NP-полными, но они не решают наш случай полностью. Может оказаться, что исходная проблема не в NP, но все еще может быть NP-трудной.

— Габор Ретвари

Можете ли вы указать, в каком разделе своей статьи вы определили проблему выше и в какой статье вы ссылаетесь на спецификацию. к («модифицированная версия доказана, что NP завершен»)

— vzn

Мы доказываем, что задача NP-трудна даже в форме решения, т. Е. «Является ли входной граф уже безордовым завершением нечетного цикла?», Путем сокращения из следующей задачи: $G$

Задача P : Для графа и ребра существует ли неаккордовый нечетный цикл длины больше 3, проходящий через ? $G$ $e\in E(G)$ $e$

Эта проблема, как известно, является NP-трудной благодаря сокращению от «обнаружения аккордовых четных циклов, проходящих через заданный узел» в ссылке, приведенной в одном из ваших комментариев, который указан в параграфе перед разделом 3, позволяя и : $p=0$ $q=2$

Кроме того, пусть и - произвольные фиксированные целые числа. Следующие задачи являются NP-полными: содержит ли граф индуцированный цикл через заданную вершину длины (mod )? ... $q>1$ $p\ge 0$ $G$ $u$ $p$ $q$

(Может быть сокращение Карпа, но если мы разрешим использование Кука, рассмотрим следующее сокращение: замена данного узла степени d на полный подграф размера d с соответствующими исходящими ребрами. Затем для каждого ребра в полном графе мы можем запросить оракул, решающий проблему P. Обратите внимание, что четный цикл без аккордов, проходящий через данный узел, соответствует нечеткому нечеткому циклу длиной более 3, проходящему через одно из ребер в полном графе.)

Теперь о главном сокращении. Учитывая случай Задачи P, сначала мы обнаруживаем, есть ли треугольники, проходящие через ; если так, удалите каждый узел, который формирует треугольник с . Обратите внимание, что удаление узлов, которые образуют треугольник с , не удалит любые аккордовые нечетные циклы, проходящие через (с помощью свойства chordless). $e$ $e$ $e$ $e$

Затем для каждого ребра отличного от мы добавляем вспомогательный узел и два ребра и . Заметьте, что новый граф имеет следующее свойство: $f$ $e=(u,v)$ $v_f$ $(v_f,u)$ $(v_f,v)$ $G'$

$G$ имеет неаккордовый нечетный цикл длиной более 3, проходящий через тогда и только тогда, когда является аккордовым нечетным завершением цикла. $e$ $G'$

Для единственного направления if это можно доказать, рассматривая различные типы ребер в . Каждое ребро, отличное от (включая эти вновь добавленные ребра), будет находиться как минимум в одном треугольнике (тот, который содержит вспомогательный узел); и будет в нечетном нечетном цикле в так как есть нечеткий нечетный цикл, проходящий через в , и этот цикл не удаляется во время процесса удаления узла. $G'$ $e$ $e$ $G′$ $e$ $G$

Для направления if, поскольку все ребра, кроме должны быть хотя бы в одном треугольнике, нам нужно беспокоиться только о ребре . Там есть chordless нечетного цикл , проходящее через в ( является chordless нечетного завершения цикла). Цикл не может иметь длину 3 по построению , и так как цикл не может содержать любые вспомогательные узлы (от chordless собственности), он будет в графе , а также. Поэтому доказательство завершено. $e$ $e$ $e$ $G'$ $G'$ $G'$ $G$

— Сянь-Чжи Чан 張顯之
источник

У меня проблемы с выполнением любого из сокращений. При первом сокращении, если данный узел v имеет степень, скажем, 5, то после сокращения он становится K_5, и этот K_5 содержит цикл нечетной длины, но он не соответствует циклу четной длины, содержащему v. основное сокращение, предположим, что G = (V, E), где V = {1,2,3,4,5}, E = {12,23,34,45,15,35} и e = 34. У G есть цикл длины 5, который проходит через e, но в G 'ребро 34 является мостом и не принадлежит ни к какому нечетному циклу, если я правильно понимаю определение вашего сокращения.

— Цуёси Ито

@ Tsuyoshi: я вижу вашу точку зрения. В задаче P мы должны заставить нечетный цикл быть хордовым. Поэтому в любом полном графе не содержится хордовых циклов нечетной длины, и для любого хордового цикла нечетной длины, проходящего через , нет треугольников, проходящих через которые также используют ребра в цикле. Я обновлю ответ.

e

$e$

e

$e$

— Сянь-Чжи Чан 之之

@ Hsien-ChihChang 張顯之: А как насчет второго пункта, касающегося основного сокращения: если мы небрежно «удалим каждый узел, который образует треугольник с », мы можем в итоге удалить действительные аккордовые нечетные циклы из ? И еще один вопрос: оригинальная ссылка доказывает NP-полноту для «обнаружения аккордовых нечетных циклов, проходящих через данный узел», но вы использовали форму «обнаружения аккордовых четных циклов». Это тот случай, когда вы молча доказали для себя, что первое подразумевает второе (что кажется довольно правдоподобным)?

e

$e$

G^{'}

$G'$

— Габор Ретвари

@ Hsien-ChihChang 張顯之: в любом случае: поскольку срок действия награды скоро истечет, и я буду далеко от своего компьютера, я назначаю вам цену сейчас. Большое спасибо за ваш ответ, он действительно помог мне по-новому взглянуть на проблему. Если вы сможете вернуться позже и устранить все вышеперечисленные проблемы, я был бы очень признателен.

— Габор Ретвари

@Gabor: В вопросе 1 удаление узлов, образующих треугольник с , не удалит циклы без аккордов, проходящие через в (свойство chordless). Это может разрушить некоторые другие аккордовые циклы, но так как нам требуется только, чтобы было аккордовым завершением нечетного цикла, каждое ребро, кроме (включая эти вновь добавленные ребра), будет находиться по крайней мере в треугольнике (тот, который содержит вспомогательный узел ); и будет в chordless нечетного цикла в тогда и только тогда есть chordless нечетное цикл , проходящий через в .

e

$e$

e

$e$

G^{'}

$G'$

G^{'}

$G'$

e

$e$

e

$e$

G^{'}

$G'$

e

$e$

G

$G$

— Сянь-Чи Чан 之之