Единообразный способ количественного определения «ветвления» в недетерминированных, вероятностных и квантовых вычислениях?

Хорошо известно, что вычисление недетерминированной машины Тьюринга (NTM) представляется в виде дерева конфигураций, основанного на начальной конфигурации. Любой переход в программе представлен ссылкой «отец-ребенок» в этом дереве.

Подобные деревья также могут быть построены для визуализации вычислений вероятностных и квантовых машин. (Обратите внимание, что для некоторых целей лучше не рассматривать связанный граф для квантовых вычислений в виде дерева, поскольку два узла, представляющих идентичные конфигурации на одном и том же уровне дерева, могут «компенсировать» друг друга из-за квантовых помех, но это не имеет ничего общего с настоящим вопросом.)

Конечно, детерминированные вычисления не такие; для каждого прогона детерминированной машины существует одна «ветка» в соответствующем «дереве».

Во всех трех упомянутых выше случаях то, что иногда делает эти вычисления «трудными» для детерминированных компьютеров, на самом деле вовсе не в том, что происходит ветвление, а в том, насколько много ветвлений присутствует в дереве. Например, недетерминированная машина Тьюринга с полиномиальным временем, которая гарантированно генерирует деревья вычислений, чьи «ширины» (то есть число узлов на самом переполненном уровне) также ограничены сверху полиномиальной функцией входного размера, может моделироваться полиномом детерминированный ТМ. (Обратите внимание, что это условие «полиномиальной ширины» эквивалентно ограничению NTM, чтобы сделать не более логарифмически ограниченного числа недетерминированных догадок.) То же самое верно, когда мы устанавливаем одинаковые границы ширины для вероятностных и квантовых вычислений.

Я знаю, что этот вопрос был подробно рассмотрен для недетерминированных вычислений. См., Например, опрос « Ограниченный недетерминизм », проведенный Голдсмитом, Леви и Мундхенком. Мой вопрос заключается в том, изучалось ли это явление «ограниченного ветвления» или «ограниченной ширины» в общей структуре, охватывающей все недетерминированные, вероятностные и квантовые модели? Если так, каково стандартное название для этого? Любые ссылки на ресурсы будут оценены.

— Cem Say
источник

Недетерминированные вычисления могут также рассматриваться как проверка требований с использованием коротких доказательств. То есть класс NTIME (t) также можно рассматривать как класс языков , так что утверждение формы можно проверить за время , прочитав краткие доказательства. В этой модели «количественная оценка зацепления» аналогична изучению того, насколько короткими могут быть доказательства. Хотя я не знаю статей, в которых изучался этот вопрос, это может дать вам направление, где их искать. Одна статья, в которой изучался связанный вопрос в контексте интерактивных доказательств, - «Об интерактивных доказательствах с лаконичным доказательством», авторы Goldreich, Vadhan и Wigderson: http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~oded/p_laconic. HTML $L$ $x \in L$ $t(|x|)$

Относительно вероятностного вычисления: количество «ветвлений», используемых в вычислениях, является точно количеством случайных битов / бросков монеты, которые использует алгоритм. Количественная оценка этого числа и его минимизация широко изучаются в области «дерандомизации». Вы можете прочитать об этом в главах 20 и 21 книги Арора-Барак ( http://www.cs.princeton.edu/theory/index.php/Compbook/Draft ) или в главе 8 книги Гольдрайха ( http: / /www.wisdom.weizmann.ac.il/~oded/cc-book.html ). Следует также отметить, что в этой области принято считать, что . Если это так, то количество случайных битов, используемых вычислением, не влияет на его мощность, если это число является полиномиальным. $P=BPP$

— Или меир
источник

Спасибо! Таким образом, рассматриваемое явление соответствует «чтению символа доказательства» в первом случае и «подбрасыванию монеты» во втором. Но как насчет третьего случая, то есть квантов? Я был бы очень признателен, если бы кто-то, кто понимает эти вещи, объяснил, в чем заключается важное различие между квантовым переходом, амплитуда которого имеет модуль 1 (т.е. «неразветвленный» переход), и ветвящимся. Например, является ли реализация квантовых ветвлений более сложной, дорогой и т. Д., Чем реализация квантовых неразветвлений?

— Cem Say

Я не могу сказать ничего строгого прямо сейчас, но я думаю, что в квантовом случае это сумма запутанности в состоянии конфигураций, в которых сейчас находится ваша машина. Если нет запутанности, это будет похоже на вероятностную машину. Таким образом, вместо подсчета степени ветвления, в данном случае имеет смысл подсчитать степень запутанности, например, вычислить ранг состояния (то, что физики называют числом Шмидта) или любой другой способ измерения запутанности. Но, как я уже сказал, это всего лишь мысль.

— Маркос Вильягра