NTIME (n ^ k) ≠ DTIME (n ^ k)?

В книге «О детерминизме и недетерминизме и связанных с этим проблемах» (Proc. IEEE FOCS, pages 429–438, 1983) Пол, Пиппенгер, Семереди и Троттер доказали, что .
$\mathsf{NTIME}(n)\neq\mathsf{DTIME}(n)$

Это отвечает на мой вопрос с к = 1. Известно ли что-нибудь о подобном результате для другого фиксированного k?

Никакая безусловная нижняя граница не известна ни для какого $k \geq 2$ в модели многолинейной TM (или любой модели, более сильной, чем она).

$NTIME(n^k) \neq TIME(n^k)$$c \geq 1$$k$T I M E - S P A C E ( n k , n k / c$NTIME(n^k) \not \subseteq TIME-SPACE(n^k,n^{k/c})$$TIME-SPACE(n^k, n^{k/c})$класс языков, распознаваемых машинами, использующими время $n^k$ и пространство $n^{k/c}$ одновременно. Ясно, что $TIME-SPACE(n^k,n^{k/c}) \subseteq TIME(n^k)$ но неизвестно, равны ли они.

Если для некоторого k \ geq 2 вы предположите, $k \geq 2$что $NTIME(n^k) = TIME(n^k)$ , вы получите интересные последствия. $P=NP$ очевидна, но это также означает, что ${\sf NL} \neq {\sf P}$ . Это можно доказать с помощью аргумента «чередование». По сути, для каждого $k$ и каждого языка $L \in {\sf NL}$ существует константа $c$ и некоторая переменная машина, которая распознает $L$ и делает чередования $c$ , угадывает $O(n)$ бит на чередование, затем переключается в детерминированный режим и работает в $n^k$ времени. (Это следует, например, из игры с конструкциями вFortnow, «Пространственно-временные компромиссы для удовлетворения» (1997) .) Теперь, если тогда все эти чередования c могут быть удалены с небольшим количеством накладных расходов, и вы в конечном итоге с TIME (п ^ к) вычисление , которое распознает L . Следовательно, {\ sf NL} \ subseteq TIME (n ^ k) \ neq {\ sf P} . Вероятно, такой чередующейся симуляции не существует, но если вы можете исключить это, то у вас будет нижняя граница, которую вы ищете. (Примечание: я полагаю, что приведенный выше аргумент также есть в статье Каннана.)c T I M E ( n k ) L N L ⊆ T I M E ( n k ) ≠ $TIME(n^k) = NTIME(n^k)$$c$$TIME(n^k)$$L$${\sf NL }\subseteq TIME(n^k) \neq {\sf P}$

в то время как не совсем то, о чем вы спрашиваете, rj lipton комментирует в своем блоге фундаментальную сложность результатов в этой области и то, что типичный подход «заполнения» не применяется [1] и указывает, что результат PPST, который вы цитируете, недавно были немного расширены (логарифмическим фактором) Santhanam [2], т.е.

[1] http://rjlipton.wordpress.com/2011/01/19/we-believe-a-lot-but-can-prove-little/

[2] http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.22.2392