Восстановление дерева по запросам разделителей

Предположим, что $T$ - дерево постоянной степени, структура которого мы не знаем. Проблема состоит в том, чтобы вывести дерево , задавая запросы в форме: «Находится ли узел на пути от узла к узлу ?». Предположим, что на каждый запрос оракул может ответить в постоянное время. Мы знаем значение , количество узлов в дереве. Цель состоит в том, чтобы минимизировать время, необходимое для вывода дерева в терминах .x a b n $T$$x$$a$$b$$n$$n$

Существует ли алгоритм $o(n^2)$ для вышеуказанной задачи?

Предположим, что степень любого узла в $T$ не больше 3.

Что я знаю

Случай с ограниченным диаметром прост . Если диаметр дерева равен $D$ , то мы можем получить алгоритм «разделяй и властвуй»:

Любое двоичное дерево имеет хороший разделитель, который делит дерево на компоненты размером не менее 1/3n.

1. Выберите любую вершину х. Если это хороший разделитель меток то и рекурсивно.
2. Найти всех 3 соседей х.
3. Двигайтесь в направлении соседа, который имеет наибольшее количество узлов. Повторите шаг 2 с соседом.

Поскольку нахождение разделителя занимает не более $D$ шагов, мы получаем алгоритм $O(nD\log n)$ .

$O(n\;\log^2 n)$ рандомизированный алгоритм. (перенесено из комментариев ниже)

Выберите две вершины x и y случайным образом. С вероятностью 1/9 они будут лежать на противоположных сторонах разделителя. Укажите средний узел пути от $x$ до $y$ . Посмотрите, если это разделитель, если не делать бинарный поиск.

Требуется $O(n\;\log n)$ ожидаемое время нахождения разделителя. Таким образом, мы получаем$O(n\;\log^2 n)$ рандомизированный алгоритм.

Фон. Я узнал об этой проблеме от друга, который работает в вероятностных графических моделях. Вышеупомянутая проблема примерно соответствует изучению структуры дерева соединений с использованием оракула, который, учитывая три случайные величины X, Y и Z, может сообщать значение взаимной информации между X и Y, учитывая значение Z. Если значение близко к нулю, мы можем предположить, что Z лежит на пути от X до Y.

Нет . Следующая простая стратегия противника подразумевает, что любой алгоритм для восстановления дерева узлов требует, по крайней мере, ( n - $n$«промежуточных» запросов.$\binom{n-1}{2} = n(n-1)/2$

Произвольно пометить узлы . Противник отвечает на все запросы, как будто дерево является звездой с вершиной 0 в центре; думайте о 0 как о корне, а другие узлы как о его дочерних элементах .$0,1,2,\dots,n-1$$0$$0$

Between?(a,x,b)
    if x=0 return TRUE else return FALSE

Теперь предположим, что алгоритм останавливается после выполнения менее чем запросов. Тогда должно быть две вершины y и z , не равные нулю, чтобы алгоритм не запрашивал перестановку тройки ( 0 , y , z ) . Если алгоритм утверждает, что дерево не является звездой с центром 0 , злоумышленник раскрывает свои данные, доказывая, что алгоритм неверен. Затем противник обнаруживает, что x на самом деле является единственным потомком y , что снова доказывает неправильность алгоритма.$n(n-1)/2$$y$$z$$(0,y,z)$$0$$x$$y$

Обновление: Ой, только что заметил ограничение степени. К счастью, это не главное препятствие. Замените узел вашим любимым двоичным деревом, оставив n - 1 узлов в некотором неизвестном порядке, а затем откройте это поддерево алгоритму реконструкции. Реконструкция получающегося двоичного дерева с ( 2 n - 3 ) узлами все еще требует по крайней мере n ( n - 1 ) / 2 запросов. Эквивалентно, для реконструкции двоичного дерева с m- узлами требуется как минимум ( m + 3 $0$$n-1$$(2n-3)$$n(n-1)/2$$m$ запросов. (Я уверен, что более тонкая конструкция улучшит константу.)$(m+3)(m+2)/8$ Как указывает Джагадиш, это обобщение не работает; запросы о внутренних узлах в дереве накладывают упорядочение на листья, что уменьшает количество необходимых запросов.

$\tilde O(n \sqrt{n})$