Насколько велика дисперсия ширины дерева случайного графа в G (n, p)?

Я пытаюсь найти, насколько близки и , когда и является константой, не зависящей от n (поэтому ). Моя оценка такова: whp, но я не смог доказать это. $tw(G)$ $E[tw(G)]$ $G \in G(n,p=c/n)$ $c>1$ $E[tw(G)] = \Theta(n)$ $tw(G) \leq E[tw(G)] + o(n)$

— Kostas
источник

Какова мотивация для вопроса? (т.е. почему интересует эта проблема?)

— Kaveh

Ну ... мне было интересно, насколько знание некоторых ребер может повлиять на предполагаемую ширину дерева (знание о существовании каждого ребра может влиять не более чем на единицу), и это привело меня к этому вопросу (который гораздо больше интересно)

— Костас

В частности, это имеет значение для верхних границ счета моделей в выполнимом режиме для случайных экземпляров SAT (и кванта-SAT) в фазе случайных графов Эрдоша-Реньи, имеющих большую связную компоненту. В той степени, в которой мы заботимся о случайном SAT как о теме теоретической информатики, а также о подходах, использующих ширину дерева для ограничения сложности #SAT и подобных проблем, этот вопрос хорошо мотивирован.

— Ниль де Бёдрап,

Вам не нужно вычислять дисперсию, чтобы доказать концентрацию tw (G (n, p)) вокруг ее ожидания. Если два графа G 'и G отличаются на одну вершину, то их ширина дерева отличается не более чем на один. Вы можете использовать стандартный метод, неравенство Хоффдинга-Азумы, примененный к мартингалу экспозиции вершины, чтобы показать, например,

, $\mathbb{P}( | tw(G(n,p)) - \mathbb{E} tw(G(n,p))| > t) \le 3 e^{- t^2/(2 n)}$

$t = n^{0.51}$

$G(n,p)$

— Valentas
источник