3-Clique Partition для графиков фиксированного диаметра

Проблема разбиения с 3-мя кликами - это проблема определения , можно ли разбить вершины графа, скажем, , на 3 клики. Эта проблема является NP-трудной из-за простого сокращения проблемы 3-окрашиваемости. Нетрудно видеть, что ответ на эту проблему прост, когда diam ( G ) = 1 или diam ( G ) > 5 . Проблема остается NP-трудной, когда diam ( G ) = 2 простым сокращением от себя (для графа G добавьте вершину и соедините ее со всеми остальными вершинами).$G$$\textrm{diam}(G) = 1$$\textrm{diam}(G) > 5$$\textrm{diam}(G) = 2$$G$

Какова сложность этой задачи для графов с при 3 ≤ p ≤ 5 ?$\textrm{diam}(G) = p$$3\le p \le 5$

Проблема , кажется, в .$P$

Возьмем две вершины , v с расстоянием ровно 3 (такая пара должна существовать при p ≥ 3 ). Они должны иметь разные цвета (я буду использовать R, G, B, чтобы обозначить 3 цвета, а вершины в одной и той же клике окрашены в один и тот же цвет). Wlog предполагает, что у вас красный цвет, а v - зеленый.$u$$v$$p\ge 3$$u$$v$

$\Gamma(u)$$u$$\Gamma(v)$$V-\Gamma(u)-\Gamma(v)$$u$$v$$u$$v$$v$должен быть зеленого или синего цвета. Каждая вершина теперь имеет не более двух вариантов выбора, поэтому задача становится экземпляром 2-SAT, который мы можем решить за полиномиальное время.