Объединение двух бинарных поисковых деревьев

Я ищу алгоритм для объединения двух двоичных деревьев поиска произвольного размера и диапазона. Очевидный способ , которым я бы идти о реализации этого было бы найти целые поддерева чьих диапазона может поместиться в произвольный внешний узел в другом дереве. Однако наихудшее время выполнения для этого типа алгоритма, по-видимому, имеет порядок O(n+m)где nи mразмер каждого дерева соответственно.

Тем не менее, мне сказали, что это можно сделать там O(h), где hвысота дерева больше, чем высота. И я полностью потерян, как это возможно. Я попытался сначала поэкспериментировать с поворотом одного из деревьев, но поворот дерева в позвоночник - это уже O (h).

ds.algorithms ds.data-structures tree

— efritz
источник

Я не знаю, Эрик, у меня тоже такой же вопрос.

Чтобы быть справедливым, это был вопрос, заданный в домашней задаче Алгоритмы. Оказывается, что O (h) является слишком строгим во время выполнения, поскольку вопрос забыл дать более необходимую информацию: все ключи одного дерева были меньше всех ключей в правом дереве.

— Efritz

Я что-то упустил, не будет ли легко объединить двоичные деревья O(log n)с помощью простой функции перемещения узла?

— AT

@AT Да, но мы не знали, что ключи от одного BST были взаимоисключающими от другого.

— Efritz

Это красно-черное дерево, а не BST. Красный черный (а также деревья и кучи AVL) - это особые виды деревьев, которые сохраняют свойство высоты. Ванильные BST могут быть одним позвоночником. Попробуйте вставить неубывающий или не увеличивающийся ряд чисел в BST, и вы увидите, что высота этих деревьев на самом деле n. Только полные или полные двоичные деревья имеют высоту, логарифмическую по отношению к их общему количеству узлов.

— efritz

Ответы:

В ArXiv: 1002.4248 Джон Иаконо и Озгюр Озкан описывают относительно простой алгоритм объединения двух бинарных деревьев поиска за время амортизации ; анализ является сложной частью. [ Обновление: как правильно заметил Джо в своем ответе, этот алгоритм принадлежит Брауну и Тарьяну.] Они также описывают более сложную структуру данных словаря, основанную на смещенных списках пропусков, которая поддерживает слияния в $O(\log^2 n)$ амортизированноговремени. $O(\log n)$

С другой стороны, оценка в худшем случае невозможна. Рассмотрим два двоичных дерева поиска с узлами, одно из которых хранит четные целые числа от до , а другое - нечетные целые числа от до . Слияние двух деревьев создает новое двоичное дерево поиска, хранящее все целые числа между $O(\log n)$ $n$ $2$ $2n$ $1$ $2n-1$ до . В любом таком дереве постоянная доля узлов имеет разную четность, чем их родители. (Доказательство: родитель нечетного листа должен быть четным.) Таким образом, объединение четного и нечетного деревьев требует изменения $1$ $2n$ указатели. $\Omega(n)$

— Jeffε
источник

Одно замечание: если я правильно прочитал описание в этой статье, эти деревья не поддерживают вставку и удаление.

слияние просто следует процедуре объединения поиска пальца дерев (описанную в ответе Джо). Ограниченный набор операций позволяет лучше анализировать, чем

O (\lg^{2} n)

$O(\lg^2 n)$

один.

O (n \lg \frac{m}{n})

$O(n \lg \frac{m}{n})$

— Jbapple

Улучшенный анализ обусловлен амортизацией, а не ограничением разрешенных операций. Вставки и удаления могут поддерживаться с помощью разбиений и слияний (фактически «объединений») в том же

амортизированном временном интервале.

O (l o g n)

$O(log n)$

— Джефф

Просто из любопытства, влияет ли время

если деревья хранятся в массивах, а не в связанных списках (я полагаю, это то, что вы имели в виду, говоря «изменение ... указателей »)?

Ω (n)

$\Omega(n)$

— mtahmed

По умолчанию «деревья двоичного поиска» являются структурами на основе указателей (не «связанных списков»); каждый узел указывает на своих двух детей и, возможно, своего родителя. Но нижняя граница не зависит от точного представления. Есть

способы слияния двух

узловых двоичных деревьев поиска, поэтому для любого алгоритма, основанного на сравнении, требуется как минимум

(\binom{2 n}{n})

$\binom{2n}{n}$

n

$n$

сравнений для выбора правильного.

\log_{2} (\binom{2 n}{n}) \geq 2 n - O (\log n)

$\log_2 \binom{2n}{n} \ge 2n - O(\log n)$

— Джефф

@ Jɛ ﬀ E: Я согласен, что расщепления и объединения поддерживаются, но я не думаю, что создание или уничтожение деревьев это. Так, например, если я хочу удалить «x» из алфавита, я получу не только «a..wyz», но и «x». Размер юниверса (который равен

, см. Раздел 2.1) не меняется. Кроме того, во вступлении к разделу 1 отмечается, что наборы должны разделять юниверс, что я интерпретирую (возможно, неправильно), чтобы обозначить, что каждый элемент в юниверсе находится в некотором дереве. Итак, как я понял, эта конструкция не работает над неограниченными вселенными. Вот как я должен написать свой комментарий выше.

n

$n$

— Jbapple

Вы можете найти эту ссылку полезной: Браун и Тарьян, Алгоритм быстрого слияния, в котором авторы показывают, как объединить сбалансированные двоичные (AVL) деревья в который является оптимальным (для алгоритмов сравнения). и- длины отсортированных списков, представленных деревьями двоичного поиска, и предполагается, что $O(n \log \frac{m}{n})$ $m$ $n$ . $m \geq n$

Вы также можете увидеть обсуждение различных методов объединения упорядоченных наборов в разделе 11.5 этой статьи о деревьях поиска по пальцам.

— Джо
источник

Оба

временная граница и соответствующая нижняя граница предполагают, что

O (n \log \frac{m}{n})

$O(n\log \frac{m}{n})$

m \geq n

$m\ge n$

— Джефф

Я думал, что это подразумевается временными рамками, но я отредактировал вопрос, чтобы сделать его явным.

— Джо

Вы можете объединить деревья за наихудшее время $\bf\mathcal{O}(1)$ , поддерживая при этом: вставку, удаление и поиск в $\mathcal{O}(log\ n)$ .

Бродал, Герт Стелтинг, Кристос Макрис и Костас Цихлас. «Чисто функциональные в худшем случае отсортированные списки с возможностью прокрутки по времени» . В материалах 14-й конференции по ежегодному европейскому симпозиуму - Том 14, 172–183. ESA'06. Лондон, Великобритания, Великобритания: Springer-Verlag, 2006. [ PDF ]

— В
источник

Их структура данных поддерживает объединение за O (1) амортизированное время, а не слияние. Все элементы в одном дереве должны быть меньше, чем все элементы в другом.

— Джеффс

Ах, правда. Пришлось перечитать статью: «Соединение (

) объединяет два дерева в одно дерево. Деревья

упорядочены в том смысле, что все элементы

либо меньше, либо больше, чем наименьшее или наибольший элемент

. Предположим без ограничения общности, что

. В этом случае дерево

присоединяется к дереву

, и результатом этой операции является дерево

T_{i}

$T_i$

T_{j}

$T_j$

T_{i}

$T_i$

T_{j}

$T_j$

T_{j}

$T_j$

T_{i}

$T_i$

w (T_{i}) = w (T_{j})

$w(T_i) = w(T_j)$

T_{j}

$T_j$

T_{i}

$T_i$

прикрепляется к узлу на корешке

. "

T_{i} \cdot T_{j}

$T_i \centerdot T_j$

T_{i}

$T_i$

— AT