Алгоритмическая векторная задача

У меня есть алгебраическая задача, связанная с векторами в поле GF (2). Пусть $v_1, v_2, \ldots, v_m$ - (0,1) -векторы размерности $n$ и $m=n^{O(1)}$ . Найти алгоритм полиномиального времени, который находит (0,1) -вектор $u$ такой же размерности, чтобы $u$ не было суммой любых $(\log n)^{O(1)}$ векторов среди $v_1,v_2, \ldots, v_m$ . Сложение векторов происходит над полем GF (2), которое имеет два элемента 0 и 1 ($0+1=0+1=1$ и$0+0=1+1=0$ ).

Легко видеть существование такого вектора по простому счетному аргументу. Можем ли мы найти $u$ в полиномиальное время? Тривиально найти $u$ в экспоненциальном времени. Я отправлю чек на 200 долларов за первое правильное решение.

Там, кажется, опечатка; Я предполагаю, что вы хотите найти который не является суммой ( log n ) O ( 1 ) векторов среди v 1 , … , v m (не n ).$u \in \{0,1\}^n$$(\log n)^{O(1)}$$v_1,\dots, v_m$$n$

Мне не ясно, работает ли какая-либо константа в для вас. Если вы можете согласиться на суммы менее чем log m векторов, возможно, есть что-то, что нужно сделать. Но если вы хотите, чтобы эта величина была ( log m ) 1 + δ , то я думаю, что это довольно сложно (я давно работаю над этой проблемой).$(\log n)^{O(1)}$$\log m$$(\log m)^{1+\delta}$

Тем не менее, вам может быть интересно узнать, что это пример проблемы удаленной точки Алона, Паниграхи и Еханина («Детерминированные алгоритмы аппроксимации для задачи ближайшего кодового слова») для определенных параметров. Пусть и v 1 , … , v m будут столбцами матрицы проверки на четность линейного кода в { 0 , 1 } m размерности d = m 1 } n, то есть ( log n ) O ( 1 $m > n$$v_1,\dots,v_m$$\{0,1\}^m$ (если эта матрица не имела полного ранга, проблема была бы тривиальна). Тогда ваша задача эквивалентна нахождению u ∈ { 0 $d = m - n$$u \in \{0,1\}^n$$(\log n)^{O(1)}$ -далее от кода. Эта установка параметров, где размерность очень близка к m, в статье не рассматривается. Тем не менее, они могут только achive удаленности до размерности d = C м для некоторой константы с . На самом деле, я не думаю, что мы знаем о каком-либо сертификате полиномиального размера, который позволяет нам доказать, что некоторый вектор больше чем ω ( log m ) -далее из пространства размерности Ω ( m $\log m$$d = cm$$c$$\omega(\log m)$$\Omega(m)$не говоря уже о том, чтобы найти его.

Другая связь связана с изучением паритетов в модели ошибок. Если можно эффективно узнать -parities (определенная на 0 , 1 м ) с ошибкой , связанной строго меньше п , то можно установить произвольные значения в первом п - 1 бит U и `` силы ошибка «» в последнем бите, установив его в значение, противоположное прогнозируемому учеником. Это кажется намного сильнее, хотя.$(\log n)^{O(1)}$${0,1}^m$$n$$n - 1$$u$

Проблема также связана с отделением EXP от определенных сокращений до разреженных множеств.