Treewidth и упаковка

9

Мой вопрос немного расплывчатый. Мне было интересно, если (и как), мы можем применить понятие ширины дерева для задач упаковки в графах.

Я был бы счастлив с любым пониманием или ссылками прошлой исследовательской работы на этом (предполагая, что они - некоторая связь). Спасибо.

— Нихилу
источник

11

Я могу интерпретировать этот вопрос двумя различными способами:

1) Когда речь заходит об алгоритмических свойствах задач упаковки на графах ограниченной длины дерева, теорема Курселя показывает, что для любого фиксированного $k$ мы можем оптимально решать задачи, которые можно выразить в монадической логике второго порядка за линейное время на не более $k$ (см., например, http://dx.doi.org/10.1093/comjnl/bxm037 для обзора алгоритмических свойств графов ограниченной ширины). Поскольку в MSOL можно сформулировать множество задач упаковки, это доказывает возможность решения многих таких задач на графах ограниченной ширины дерева, включая независимое множество, упаковку треугольников, упаковку циклов, упаковку непересекающихся копий вершин / ребер любого фиксированного графа, упаковку вершинно-непересекающихся второстепенных моделей. некоторого фиксированного графа H и т. д. Но так как эта гибкость распространяется на все определяемые MSOL проблемы, она не является специфичной для упаковки.

2) Когда дело доходит до структурно-графических отношений между упаковками и шириной дерева, может представлять интерес следующее. Благодаря работе Робертсона и Сеймура известно, что есть функция $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ такой, что каждый график ширины дерева по крайней мере $f(r)$ содержит $r \times r$ сетка как второстепенная (оригинал $f$ данное Сеймуром и Робертсоном было позже улучшено в сотрудничестве с Томасом; см. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0095895684710732 для получения наилучшей на данный момент границы). Следовательно, если у вас есть структура $S$ такой, что много копий $S$ может быть упакован в $r \times r$ незначительная сетка, то вы знаете, что любой график большой длины дерева содержит большую упаковку копий $S$ , Например, как $r \times r$ сетка (для четного $r$ ) содержит $(r/2)^2$ вершинно-непересекающиеся циклы, отсюда следует, что график ширины дерева $f(r)$ содержит как минимум $(r/2)^2$ непересекающиеся циклы.

— Барт Янсен
источник

Барт Может быть, это не имеет значения, но видите ли вы какую-либо связь между реконструкцией графа и его шириной дерева? Также есть ли у вас ссылка на бесплатную версию вашей проф работы? (Комбинаторная оптимизация на графиках ограниченной ширины дерева)

— Саид

Документ о ширине дерева доступен по адресу Citeseer citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.107.2561 . Что касается реконструкции графа: вы имеете в виду процесс, в котором, учитывая мультимножество всех подграфов, полученных путем удаления одной вершины, вы хотите восстановить исходный граф? Похоже, Шива Кинтали недавно изучил вопрос о том, верна ли гипотеза о восстановлении графа для второй ширины: cstheory.stackexchange.com/questions/5155/… .

— Барт Янсен

Спасибо, Барт, да, я вижу вопрос Шивы, но, это было год назад, может быть, есть какой-то новый результат, спасибо всем.

— Саид

На веб-сайте Шивы перечислены две рукописи на эту тему: «О восстановлении k-деревьев и деревьев регулярных графов» и «Новые свойства восстанавливаемых графов» с примечанием «Скоро появится PDF» ( cs.princeton.edu/~kintali/#proprecon ). Вы можете связаться с ним напрямую, чтобы спросить о текущем состоянии дел.

— Барт Янсен

После этого ответа лучшая оценка ширины дерева, необходимая для обеспечения

r \times r

$r \times r$ Kawarabayashi и Kobayashi улучшили мелкую сетку до

2^{O (r^{2} \log r)}

$2^{O(r^2\log r)}$ в dx.doi.org/10.4230/LIPIcs.STACS.2012.278 , и Сеймур заявил об улучшении

2^{O (r \log r)}

$2^{O(r \log r)}$ в августе 2012 года.

— Андрас Саламон

7

Задача о максимальном независимом множестве - это задача упаковки (вы можете думать, что это упаковка непересекающихся звезд), и она имеет хорошо известный алгоритм со временем выполнения $2^k \operatorname{poly(n)}$ в графиках с шириной не более $k$ ,

— Янне Х. Корхонен
источник

Спасибо Джанн за твой ответ. Я в курсе алгоритма MIS. Помимо МИС, применяется ли понятие ширины деревьев для упаковки других конструкций? Кроме того, я не совсем убежден в том, что МИС - это упаковка непересекающихся звезд. Не могли бы вы объяснить свою точку зрения по этому поводу? (какую звездную структуру вы пытаетесь собрать, что такое понятие "непересекающиеся звезды")?

— Нихил

1

Это не так просто, как я думал, когда писал ответ. «Упаковка непересекающихся по краям звезд» была бы более подходящей, и тогда вы должны требовать, чтобы любая размещенная звезда имела как можно большую степень. Я не помню, чтобы ширина дерева применялась для более сложных задач упаковки.

— Янне Х. Корхонен

1

Максимальный независимый набор, безусловно, является «проблемой упаковки» в обычной терминологии; Другой пример проблемы упаковки - максимальное соответствие. (Они упаковывают целочисленные программы; LP расслабление - это упаковочный LP.)

— Юкка Суомела

6

Замечательная ссылка на эту тему - нижеприведенная статья Брюса Рида.

Рид, Б. (1997). Ширина дерева и путаница: новая мера связности и некоторые приложения. Обзоры по комбинаторике, 241, 87-162.

Одна из моих недавних работ позволяет в некоторых случаях обойти теорему о сетке-минор через теоремы разложения по ширине. Смотрите статью ниже.

Разложение и приложения графов большой ширины http://arxiv.org/abs/1304.1577

— Чандра Чекури
источник

5

Это тоже расплывчатый ответ. Существует двойственность, аналогичная теореме Эрдоша-Посы для графов ограниченной ширины дерева. См., Например, Федор В. Фомин, Сакет Саурабх, Димитриос М. Тиликос: Усиление свойства Эрдеша-Поса для классов минорных замкнутых графов. Журнал теории графов 66 (3): 235-240 (2011)

— R2-D2
источник