Эффективный алгоритм для почти оптимальной окраски ребер гиперграфов

Проблемы окраски графа уже достаточно сложны для большинства людей . Тем не менее, мне придется столкнуться с трудностями и задать вопрос о раскраске гиперграфа.

Вопрос.

Какие эффективные алгоритмы существуют для нахождения приблизительно оптимальной раскраски ребер для k-равномерных гиперграфов?

Детали ---

• K-равномерный гиперграф - это такой, в котором каждое ребро содержит ровно k вершин; обычный случай простого графа k = 2. Точнее, меня интересуют помеченные k-равномерные гиперграфы, в которых два ребра могут фактически иметь один и тот же набор вершин; но я остановлюсь на чем-то на k-регулярных гиперграфах с ребрами, пересекающимися не более чем с k − 1 вершинами.

• Раскраска краев гиперграфа - это та, в которой ребра одного цвета не пересекаются, как в случае с графами. Хроматический индекс χ '(H) - это минимальное количество требуемых цветов, как обычно.

• Я хотел бы получить результаты по детерминированным или рандомизированным алгоритмам полиномиального времени.

• Я ищу самый известный коэффициент приближения / аддитивный разрыв между тем, что может быть эффективно найдено, и фактическим хроматическим индексом χ '(H) - или, в этом отношении, наилучшим образом достижимым результатом с точки зрения параметров например, максимальная степень вершины Δ (H), размер гиперграфа и т. д.

Edit: запрос реплики Суреша о HyperGraph двойников ниже, следует отметить , что эта задача эквивалентна задачей нахождения сильной вершины расцветки из к-регулярным гиперграфа: то есть, где каждая вершина принадлежит к различным ребрам [а края может теперь содержать различное количество вершин], и мы хотим раскраску вершин, чтобы любые две смежные вершины имели разные цвета. Эта переформулировка также не имеет очевидного решения.

замечания

В случае графов теорема Визинга не только гарантирует, что гранично-хроматическое число для графа G является либо Δ (G), либо Δ (G) +1, но стандартные доказательства этого также дают эффективный алгоритм для нахождения Δ (G ) + 1-края окраски. Этот результат был бы достаточно хорош для меня, если бы меня интересовал случай k = 2; Тем не менее, я особенно заинтересован в k> 2 произвольно.

Кажется, что нет никаких известных результатов об оценках гиперкраски краев гиперграфа, если только вы не добавите ограничения, такие как каждое ребро, пересекающееся в не более чем t вершинах. Но мне не нужны границы для самого χ '(H); просто алгоритм, который найдет «достаточно хорошую» раскраску. [Я также не хочу накладывать какие-либо ограничения на мои гиперграфы, за исключением того, что они k-равномерны, и, возможно, ограничения на максимальную степень вершины, например, Δ (H) ≤ f (k) для некоторого f ∈ ω (1) .]

[ Приложение. Теперь я задал соответствующий вопрос на MathOverlow о границах хроматического числа, конструктивного или иного.]

Приведенный ниже ответ нарушает ваше условие о том, что вы не хотите, чтобы на вашем гиперграфе были наложены серьезные ограничения, но он может представлять интерес, если только как связанная работа.

$r$$r$

В последнее время была проведена работа над такими проблемами «красочной раскраски» для пространств с геометрическим диапазоном, частично мотивированная проблемами в сенсорных сетях. Стандартный вопрос, который задают:

$k$$S$$c_S(k)$$c_S(k)$$r$$S$$\min(|r|, k)$

Таким образом, - это количество (где - максимальная мощность диапазона).$c_S(\Delta)$$\Delta$

С этим связан вопрос определения , где - пространство двойного диапазона (по сути, ваш исходный гиперграф). Одним из примеров такого рода результатов является то, что :$c_\tilde{S}(k)$$\tilde{S}$

Поскольку - пространство полуплоскостей в ,$S$$\Re^2$$c_S(k) \le 3k-2$

Хорошим справочным материалом для этой работы является документ DCG Aloupsis et al. И ссылки в нем.