На мерных многообразиях и решетках

РЕДАКТИРОВАТЬ (Тара B): Я все еще был бы заинтересован в ссылке на доказательство этого, так как я должен был доказать это сам для моей собственной статьи.

Я ищу доказательство теоремы 4, которое появляется в этой статье:

Бесконечная иерархия пересечений контекстно-свободных языков Лю и Вейнера.

Теорема 4: - мерное аффинное многообразие не выражается в виде конечного объединения аффинных многообразий каждый из которых имеет размерность или меньше.$n$$n-1$

1. Кто-нибудь знает ссылку на доказательство?
2. Если многообразие конечно и мы определяем естественный порядок на элементах, есть ли подобное утверждение в терминах решеток?

Некоторые предпосылки, чтобы понять теорему:

Определение: Пусть - множество рациональных чисел. Подмножество является аффинным многообразием, если когда , и .$\mathbb{Q}$$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$(\lambda x+(1-\lambda)y)\in M$$x\in M$$y\in M$$\lambda\in\mathbb{Q}$

Определение: аффинное многообразие называется параллельным аффинному многообразию если для некоторого .$M'$$M$$M'=M+a$$a\in \mathbb{Q}^n$

Теорема: Каждое непустое аффинное многообразие параллелен уникального подпространства . Это определяется как$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$K$$K$$K=\{x-y:x,y\in M\}$

Определение: измерение из непустого аффинного многообразия является размерностью подпространства параллельно ей.

Интуитивно понятно, что в теореме говорится, что прямая не является конечным объединением точек, плоскость не является конечным объединением линий и т. Д. Простейшим доказательством является, например, наблюдение, что конечное объединение линий имеет нулевую площадь, тогда как Самолет нет.

Конкретнее, заметьте, что достаточно доказать утверждение для многообразий на$\mathbb{R}^n$ , перейдя к их замыканиям. Рассмотрим аффинное многообразие заданное множеством решений линейной системы A x = b ; его замыкание будет в точности набором решений той же системы над R n , поэтому этот шаг не влияет на размерность участвующих многообразий. Кроме того, замыкание конечного объединения равно объединению замыканий.$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$A x = b$$\mathbb{R}^n$

Отметим теперь, что мерная мера Лебега многообразия размерности ≤ d - 1 равна нулю. Поэтому d- мерная мера Лебега конечного объединения таких многообразий все еще равна нулю. Но d- мерная мера d- мерного многообразия бесконечна и, следовательно, не равна нулю.$d$$\le d - 1$$d$$d$$d$

Что касается вашего второго вопроса, я не совсем уверен, что вы имеете в виду. Но если базовое поле конечно, то любое d- мерное аффинное многообразие над F n содержит | F | д баллов. Таким образом, с помощью аналогичного аргумента подсчета вам нужно хотя бы | F | д / | F | д - 1 = | F | аффинные пространства размерности ≤ d - 1, чтобы покрыть аффинное пространство размерности d .$\mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}^n$$|\mathbb{F}|^d$$|\mathbb{F}|^d/|\mathbb{F}|^{d-1}=|\mathbb{F}|$$\le d - 1$$d$

Вот доказательство без меры, которое работает для аффинных многообразий над произвольным бесконечным полем (результат для конечных полей неверен).$\mathbb F$

$n\ge0$$A\subseteq\mathbb F^m$$n$$n$

$n=0$

$n$$n+1$$A=\bigcup_{i<k}A_i$$\dim(A)=n+1$$\dim(A_i)\le n$$B\subset A$$n$$B=\bigcup_i(B\cap A_i)$$\dim(B\cap A_i)=n$$i<k$$B=A_i$$k$$A_i$$B$$A$$n$$B_0$$v$$A$$B_0$$A$$B_0+av$$a\in\mathbb F$