О сложности минимизации пропускной способности

Проблема пропускной способности графа определяется следующим образом. Учитывая график , A макет из является отображение один к одному из вершин на целые числа . Ширина полосы определяется как$G=(V,E)$ $f$$G$$G$$\{1, \ldots, |V|\}$$f$

$bw(f) = \max \{|f(u) - f(v)| \mid \{u,v\} \in E\}$ .

Полоса пропускания $G$ , обозначаемая $bw(G)$ , определяется как минимальная полоса пропускания макета, причем этот минимум принимается по всем возможным макетам.

Решающий вопрос: для графа $G$ и целого числа $k$ есть $bw(G) \le k$ ?

Известно, что эта проблема является NP-полной даже для деревьев максимальной степени три [ Результаты сложности для минимизации пропускной способности . Гэри, Грэм, Джонсон и Кнут, SIAM J. Appl. Math., Vol. 34, № 3, 1978]. Авторы показывают, что можно проверить, имеет ли граф полосу пропускания не более двух за полиномиальное время. Дело № $bw \le 3$ было открытым.

Известна ли сложность случая $bw \le 3$ ? Что мы знаем о сложности проблемы, когда $k$ не является частью ввода, а является фиксированной константой, по крайней мере, $4$ ?

Рекомендации были бы хорошими.

Проблема пропускной способности является -hard для всех . Это было показано Bodlaender et al. в «За пределами NP-полноты для задач ограниченной ширины». Смотрите статью .$W[t]$$t$

С другой стороны, также известно, что для любого , имеет ли данный граф полосу пропускания не более может быть решено за время. Это подразумевает, что проблема пропускной способности в . Смотрите другую статью Сакс.$k$$k$$O(f(k)n^{k+1})$$XP$