Точный алгоритм для задачи маркировки ребер в DAG

Я внедряю некоторую системную часть, которая требует некоторой помощи. Поэтому я формулирую это как проблему графа, чтобы сделать его независимым от домена.

Задача: Нам дан ориентированный ациклический граф . Без ограничения общности предположим, что имеет ровно одну исходную вершину и ровно одну стоковую вершину ; Пусть обозначает множество всех направленных путей от до в . Мы также дали множество вершин . Задача состоит в том, чтобы назначить неотрицательные целочисленные веса ребрам , поэтому любые два пути в имеют одинаковый вес, если и только если они содержат одинаковое подмножество вершин в $G=(V,E)$ $G$ $s$ $t$ $P$ $s$ $t$ $G$ $R \subseteq V$ $G$ $P$ . (Вес пути - это сумма весов его ребер.) Диапазон весов путей в должен быть как можно меньше. $R$ $P$

В настоящее время мой подход не кажется эффективным; Я просто ищу ссылки на литературу или хорошие идеи. Все остальное также ценится.

Изменить: Есть ли доказательства твердости для этой проблемы? Всегда ли существует компактная нумерация?

— user5153
источник

уточните, пожалуйста, «Диапазон весов путей в P должен быть оптимальным». Веса только целые числа? Разрешены ли нам отрицательные веса? Оптимальный означает «как можно меньший диапазон» или это что-то еще?

— Артем Казнатчеев

я редактировал вопрос Спасибо за ваш комментарий. веса должны быть неотрицательными целыми числами, а диапазон должен быть как можно меньше.

— user5153

Простая стратегия для нахождения правильного решения состояла бы в том, чтобы назначить различную степень два каждой вершине v в R, использовать это число в качестве веса всех входящих ребер для v и присвоить нулевой вес всем оставшимся ребрам. Очевидно, что это не может быть оптимальным, но, по крайней мере, дает верхнюю границу необходимого диапазона. Является ли когда-либо улучшением то, что разные ребра через одну и ту же вершину в R имеют разные веса друг от друга, или вы можете упростить задачу, заставив веса идти с вершинами, а не с ребрами?

— Дэвид Эппштейн

O (2^{| R |})

$O(2^{|R|})$

G = (V, E)

$G = (V, E)$

V = [n] \cup {s, t}

$V = [n] \cup \{s, t\}$

E = {(i, j) : i < j} \cup {(s, 1), (n, t), (s, t)}

$E = \{(i, j): i<j\} \cup \{(s, 1), (n, t), (s, t)\}$

R = [n]

$R = [n]$

2^{n}

$2^n$

R

$R$

2^{n} - 1

$2^n -1$

конечно, в худшем случае я имел в виду туго (на самом деле я написал это в первой версии этого комментария, которая потерялась). Я подумал, что было бы хорошо сначала установить некоторые абсолютные границы, так как никто еще не решил проблему оптимизации.

— Сашо Николов

-6

Я не слышал об этой проблеме именно в литературе [возможно, кто-то другой], однако, как «соседняя проблема», мне кажется, что минимальное связующее дерево будет иметь полезные свойства для решения вашей проблемы. например, возможно, создание двух минимальных остовных деревьев, начиная с исходной вершины и вершины синхронизации, и распространение их наружу, пока они не коснутся и т. д., может решить проблему или дать точный ответ. прежде чем кто-нибудь скажет мне об этом, пожалуйста, поймите, что я немного расширяю идею MST, которая будет сгенерирована, начиная с заданной вершины [обычно она начинается с самого короткого ребра во всем графе]. если это не работает, мне было бы любопытно по этой причине.

— ВЗН
источник

Извините, но я не вижу актуальности этого ответа на этот вопрос.

— Дэвид Эппштейн

может быть, у вас есть лучшее представление о чем он говорит? имеет ли это смысл для вас, как указано?

— ВЗН

Ему нужно назначить веса для ребер. Как вычисление MST поможет этому?

— Николас Манкузо

хорошо, когда вы его прочитали, и, когда никто другой не предложил ответ, казалось, что проблему можно преобразовать в две части: (1) назначить веса на основе критериев / ограничений, (2) найти кратчайшие пути на основе этих весов. кажется MST может быть полезным на (2). а может и нет! (например, может быть 1/2 тесно связаны)

— vzn

Нет. Минимальные связующие деревья только для неориентированных графов; входной граф направлен. Более того, минимальные остовные деревья поверхностно связаны только с кратчайшими путями.

— Джефф