Является ли регулярным , если

12

Если регулярно, следует ли из этого, что регулярно? $A^2$ $A$

Моя попытка доказательства:

Да, для противоречия предположим, что не является регулярным. Тогда . $A$ $A^2 = A \cdot A$

Поскольку конкатенация двух нерегулярных языков не является регулярной, не может быть регулярной. Это противоречит нашему предположению. Так что регулярно. Так что, если регулярно, то регулярно. $A^2$ $A$ $A^2$ $A$

Является ли доказательство правильным?

Можем ли мы обобщить это на , и т. Д.? А также, если регулярный, то не должен быть регулярным? $A^3$ $A^4$ $A^*$ $A$

Пример: не является регулярным, но является регулярным. $A=\lbrace 1^{2^i} \mid i \geq 0\rbrace$ $A^*$

formal-languages regular-languages closure-properties

— Акшай
источник

2

Первые доказательства делают огромный прыжок. Каковы ваши доказательства того, что

не является регулярным, подразумевает, что

не является регулярным? Правильное доказательство может привести к интуиции, которая поможет ответить на остальную часть вопроса, если это действительно так.

A

$A$

A^{2}

$A^2$

— Дейв Кларк,

@DaveClarke Отредактировал доказательство.

— Акшай

3

Как вам удается произнести «Правильно ли я?» этот путь очень интригует. Как общий совет: когда сотни людей читают то, что вы написали, общая порядочность требует, чтобы вы обращали внимание на то, как вы пишете ... ;-)

— Андрей Бауэр

6

@AndrejBauer ОП может быть кто-то, кто не является носителем английского языка, и кто, возможно, еще не имел возможности получить инструкции по формальному английскому языку. Это не повод отговаривать кого-либо, хотя может быть полезно исправить их.

— Юваль Фильмус

28

Рассмотрим теорему Лагранжа о четырех квадратах . В нем говорится, что если тогда . Если регулярно, возьмите иначе возьмите . В любом случае, это доказывает существование нерегулярного такого, что является регулярным. $B = \{1^{n^2}| n \geq 0\}$ $B^4 = \{1^n | n \geq 0\}$ $B^2$ $A = B$ $A = B^2$ $A$ $A^2$

— Каролис Юоделе
источник

Я не понимаю это доказательство; не могли бы вы уточнить немного?

— Г. Бах

2

Объясняя это (красивый) доказательство: У нас есть , что

, и

. Заметим, что

. Теперь, если

, то, взяв

мы получим контрпример, а если

то, взяв

мы получим контрпример.

B \notin R E G

$B\notin REG$

B^{4} \in R E G

$B^4\in REG$

B^{4} = (B^{2})^{2}

$B^4=(B^2)^2$

B^{2} \in R E G

$B^2\in REG$

A = B

$A=B$

B^{2} \notin R E G

$B^2\notin REG$

A = B^{2}

$A=B^2$

— Шал

1

Абсолютно красивый.

— vonbrand

3

@YuvalFilmus, действительно, но у меня не было доказательств, и я не хотел оставлять никаких сомнений. Теперь я, кажется, нашел один. «Число

является суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда все простые множители вида

имеют четный показатель в простой факторизации

». Пусть

будет длина накачки. Рассмотрим

. Пусть

простое число вида

и

длина, которую мы выбираем для накачки. Тогда

n

$n$

4 k + 3

$4k+3$

n

$n$

n

$n$

w = (n!)^{2}

$w = (n!)^2$

p

$p$

4 k + 3

$4k+3$

m

$m$

имеет нечетный показатель степени на

и, следовательно, отсутствует в

.

w + (p - 1) \frac{w}{m} \cdot m = p w

$w + (p-1)\frac{w}{m}\cdot m = pw$

p

$p$

B^{2}

$B^2$

— Каролис Юоделе

1

@ JonasKölker, согласен.

— Каролис Юоделе

8

Вот пример такого невычислимого языка , что . Возьмем любой невычислимый (представленный в виде набора чисел, например, кодов остановившихся машин Тьюринга) и определим Так содержит все другое , чем те длины слова для некоторых . Если $A$ $A^2 = \Sigma^*$ $K$

A = {w \in Σ^{*} : | w | \neq 4^{k} for all k \in K} .

$A = \{ w \in \Sigma^* : |w| \neq 4^k \text{ for all } k \in K \}.$

A

$A$

4^{k}

$4^k$

k \in K

$k \in K$

A

$A$ можно было вычислить, тогда вы могли бы вычислить

: при заданном

определить, находится ли

(то есть

нулей) в

или нет. Поскольку мы предполагали, что

не вычислима,

также должна быть невычислимой.

K

$K$

k

$k$

0^{4^{k}}

$0^{4^k}$

4^{k}

$4^k$

A

$A$

K

$K$

A

$A$

Утверждение: . Пусть - любое слово длины . Если не является степенью , то и пустое слово находится в , поэтому . Если является степенью то не является степенью . Напишите , где $A^2 = \Sigma^*$ $w$ $n$ $n$ $4$ $w \in A$ $A$ $w \in A^2$ $n$ $4$ $n/2$ $4$ $w = xy$ . Оба поэтому . $|x| = |y| = n/2$ $x,y \in A$ $w = xy \in A^2$

— Юваль Фильмус
источник

1

Для начинающих, доказательства эскиз « неразрешимый» может быть в порядке. Кроме того, небольшим препятствием может быть то, что вы используете

в качестве формального языка и набора чисел (что справедливо, если предположить, что подходящая семантика для

, но, возможно, незнакома). В остальном очень хорошая идея.

A

$A$

K

$K$

K

$K$

— Рафаэль

2

Ваше доказательство все еще делает огромный скачок (утверждая, что объединение нерегулярных языков является нерегулярным).

$A=\{1^p: p\text{ is a prime}\}$ $A^2=\{1^{2k}: k>1\}$

Это не решает вопрос полностью, но дает убедительные доказательства того, что ответ отрицательный (в противном случае гипотеза Гольдбаха неверна). Тем не менее, ответ может быть очень трудно доказать, если это единственный известный пример.

— Shaull
источник

Что мы можем сделать по этому вопросу?

— Акшай

A^{2}

$A^2$

A

$A$

2

При наличии «реальных» доказательств я не думаю, что использование недоказанной гипотезы является справедливым. Может быть, связь интересна для некоторых?

— Рафаэль

Действительно, после следующих ответов это излишне. Тем не менее, вы можете увидеть здесь хорошее математическое развитие: ответ, основанный на хорошо известной гипотезе, затем связанный ответ (с использованием теоремы Лагранжа), который основан на аналогичной идее (разложение числа в сумму).

— Шал

1

Фактически, если вы используете простые и полупростые числа, вы можете использовать теорему Чена .

— sdcvvc

2

Требование неверно.

$D$ $x \in D$ $y\in D$ $|y| > 4|x|$ $|x|>4|y|$ ^$\dagger$

$A = \Sigma^* \setminus D$ $A$

$A^2 = \Sigma^*$ $\ \ \$

^$\dagger$_{$|y|>2|x|$ $|y|>2|x|+2$ $|y|>4|x|$}

— Ран Г.
источник

1 \in A

$1 \in A$

1^{k} \notin A ⟹ 1^{k - 1} \in A

$1^k \notin A \implies 1^{k-1} \in A$

2

$X \subseteq {1}^\ast$ $A=\{1\} \cup \{1^{2x}:x \in \mathbb N\} \cup \{1^{2x+1}:1^x \in X\}$

$A$ $A^2=1^{\ast}$

— sdcvvc
источник

2

$U\subseteq \mathbb{N}$ $I = \{2u+1\mid u\in U\}\cup\{0,2,4,\dots\}$ $L = \{a^i\mid i\in I\}$ $L$ $L^2 = \{a^{2n}\mid n\in \mathbb{N}\} \cup \{a^n\mid n\geq \min\,I\}$

— Дэвид Ричерби
источник

0

$\{a^k\mid m\text{ is composite}\}$ $n\geq 8$ $n-4$ $4$ $n\geq 13$ $n-9$ $9$ $n-9=2m$ $m\geq 2$ $A^2 = \{a^8,a^{10}\}\cup\{a^k\mid k\geq 12\}$ $\{\epsilon,a,aa,\dots,a^6,a^7,a^9,a^{11}\}$

— Дэвид Ричерби
источник