Как время выполнения алгоритма Укконена зависит от размера алфавита?

Меня интересует вопрос об асимптотическом времени выполнения алгоритма Укконена , возможно, самого популярного алгоритма построения суффиксных деревьев за линейное (?) Время.

Вот цитата из книги «Алгоритмы на строках, деревьях и последовательностях» Дэна Гасфилда (раздел 6.5.1):

»... в Ахо-Corasick, Weiner, Ukkonen алгоритмы и McCreight все либо требуют пространство, или $\Theta(m|\Sigma|)$ временные рамки следует заменить минимум и ". $O(m)$ $O(m \log m)$ $O(m \log|\Sigma|)$

[ - длина строки и - размер алфавита] $m$ $\Sigma$

Я не понимаю, почему это правда.

Пространство: хорошо, если мы представляем ветви из узлов, используя массивы размера , то, действительно, мы получим использование пространства . Однако, насколько я вижу, ветки также можно хранить с использованием хеш-таблиц (например, словарей в Python). Тогда у нас было бы только указателей, сохраненных во всех хеш-таблицах (так как в дереве есть ребер), при этом мы могли бы получить доступ к дочерним узлам в $\Theta(|\Sigma|)$ $\Theta(m|\Sigma|)$ $\Theta(m)$ $\Theta(m)$ $O(1)$ время, так же быстро, как при использовании массивов.
Время : как упоминалось выше, использование хеш-таблиц позволяет нам получить доступ к исходящим ветвям любого узла за время. Поскольку алгоритм Укконена требует операций (включая доступ к дочерним узлам), общее время работы также будет . $O(1)$ $O(m)$ $O(m)$

Я был бы очень признателен вам за любые подсказки о том, почему я ошибаюсь в своих выводах и почему Гусфилд прав насчет зависимости алгоритма Укконена от алфавита.

— Михаил Дубов
источник

Я не думаю, что есть какие-либо доказательства того, что независимая от времени / пространства независимая граница размера алфавита невозможна. Я полагаю, что Гасфилд сделал заявление, потому что нет никакого известного способа полностью избавиться от времени. Чтобы создать его, вам нужно более подробно остановиться на ваших хэш-функциях. Истинный O (1) наихудший случай для поиска хеша требует идеального хеша. Мне не понятно, как это сделать во время алгоритма (потому что хеш-записи не являются статичными в этот момент).

— jogojapan

(продолжение) Вы можете сделать это, как только дерево будет завершено, но тогда временные рамки для самого алгоритма все равно останутся неизменными. (+1 к вопросу, хотя.)

— jogojapan

Полезный контекст: объяснил алгоритм Укконена

— FrankW

$O(1)$ $O(1)$ $\Omega(\Sigma)$ $\Theta(m\Sigma)$

Более того, на практике время для установки всех этих хеш-таблиц будет намного больше, чем время для настройки массивов.

Вы могли бы лучше использовать глобальную хеш-таблицу, которая индексируется парами (узел, символ), но, по крайней мере, аргумент «только амортизированный» останется.

— FrankW
источник