Почему невычислимых функций больше, чем вычислимых?

Я сейчас читаю книгу по алгоритмам и сложности. В данный момент я читаю о вычислимых и невычислимых функциях, и моя книга утверждает, что есть гораздо больше функций, которые не вычислимы, чем вычислимы, на самом деле, большинство говорит, что они не вычислимы. В каком-то смысле я могу интуитивно принять это, но книга не дает формального доказательства и не дает подробного описания этой темы.

Я просто хотел увидеть доказательство / позволить кому-то здесь прояснить это / более четко понять, почему существует так много невычислимых функций, чем вычислимых.

Являются счетно множество вычислимых функций:

Каждая вычислимая функция имеет как минимум один алгоритм. Каждый алгоритм имеет конечное описание с использованием символов из конечного набора, например, конечных двоичных строк с использованием символов . Число конечных двоичных строк, обозначаемых { 0 , 1 } ∗, является счетным (т. Е. Таким же, как число натуральных чисел N ).$\{0,1\}$$\{0,1\}^*$$\mathsf{N}$

Следовательно, может быть не более счетного числа вычислимых функций. Существует как минимум счетное множество вычислимых функций, поскольку для каждого постоянная функция f ( x ) = c вычислима.$c\in \{0,1\}^*$$f(x)=c$

Другими словами, существует соответствие между:

• множество вычислимых функций,
• набор алгоритмов,
• , множество конечных строк из { 0 , 1 } , и$\{0,1\}^*$$\{0,1\}$
• , множество натуральных чисел.$\mathbb{N}$

С другой стороны, существует бесчисленное множество функций над строками (или натуральными числами). Функция (или f : { 0 , 1 $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ ) назначает значение для каждого входа. Каждое из этих значений может быть выбрано независимо от других. Таким образом, существует N N = 2 N возможных функций. Количество функций над натуральными числами равно количеству действительных чисел.$f:\{0,1\}^* \to \{0,1\}^*$$\mathbb{N}^\mathbb{N}=2^\mathbb{N}$

Поскольку только счетное число функций вычислимо, большинство из них не являются. На самом деле количество невычислимых функций также .$2^{\mathbb{N}}$

Если вы хотите представить это интуитивно, подумайте о натуральных числах и действительных числах или о конечных двоичных строках и бесконечных двоичных строках. Существует намного больше действительных чисел и бесконечных двоичных строк, чем натуральных чисел и конечных строк. Другими словами, (для доказательства этого факта см . Диагональный аргумент Кантора и кардинальную арифметику ).$\mathbb{N} < 2^\mathbb{N}$

Вот «явная» конструкция несчетного числа невычислимых булевых функций. Пусть - некоторая фиксированная невычислимая булева функция, скажем, характеристическая функция задачи остановки. Рассмотрим множество функций F = { f : N → { 0 , 1 } : ∀ x ∈ N , f ( 2 x ) = K ( x ) } $K$

$$F = \{ f \colon \mathbb{N} \to \{0,1\} : \forall x \in \mathbb{N}, f(2x) = K(x) \}.$$ Каждый невычислим, а F несчетен.$f \in F$$F$

$R$

$$G = \{ g \colon \mathbb{N} \to \{0,1\} : \exists n \in \mathbb{N} \forall m \geq n, g(m) = R(m). \}$$ $g \in G$$R$$G$$G$

Таким образом, существует множество невычислимых функций, поскольку у нас «бесконечно много» степеней свободы - фактическая бесконечность, а не «потенциальная» бесконечность, как в вычислимом случае.